2020-08-11 题目题解
又来这边苟了一天，感觉可以听学长讲完再回归新初三那边吧，毕竟自己也不是新高二的。。。今天讲题的yhn学长果真是强者，可以在大考连续失误错失rank1，然后高考翻盘进北大。。。
Vasya and Big Integers
题目大意
给出一个大数 \(a,l,r\) ，求有多少种对 \(a\) 的划分方法使得划分出来的每一块都在 \([l,r]\) 之间。
\(a,l,r\le 10^{1000000}\)
思路
这道题我只能讲一下大概的思路，因为我自己并没有过掉，打了两个表才过掉，如果真的有人会看我这个小蒟蒻的博客的话，希望他能帮我看一下哪有问题。。。
我们不难想到设 \(f_i\) 表示划分到 \(i\) 的合法方案数，不难得到一个 \(\Theta(n^2)\) 的方法，即暴力转移用 \(\text{hash}\) 判断是否合法。
我们又发现，可以转移的点一定是连续的，于是我们可以移动左右端点，然后每次用 \(\text{hash}\) 判断两数大小。
时间复杂度 \(\Theta(n\log n)\)，其中 \(n\) 是 \(a\) 的位数，假设 \(l,r\) 的位数与 \(n\) 同阶。
虽然说起来很简单，但是有一些有关前导零的细节，还有一些奇奇怪怪的问题，所以实现起来很麻烦。。。
\(\texttt{Code}\)
Recovering BST
题目大意
给出一个 \(n\) 的二叉树的中序遍历结果，求出是否存在一种方法使得该树一条边连接两点的点权 \(a_i\) 的 \(\gcd\) 不为 \(1\) 。
\(n\le 700,a_i\le 10^9\)
思路
比较上一道实现起来比较简单。。。
不难想到一个dp方法，设 \(f_{l,r,0/1}\) 表示 \([l,r]\) 作为父节点的左/右区间的合法性，然后就可以做到 \(\Theta(n^3)\) 。
\(\texttt{Code}\)
Helping People
题目大意
给出一个长度为 \(n\) 的序列，第 \(i\) 个点的初值为 \(a_i\) ，有 \(m\) 次操作，每次有 \(p_i\) 的概率将 \([l_i,r_i]\) 集体加 \(1\) ，问最后最大值的期望。
\(n\le 10^5,m\le 5000\)，并且操作区间要么不相交要么完全包含。
思路
本来想用 \(\text{Min-Max}\) 容斥，但是看到 \(n\le 10^5\) 就放弃了。需要注意的是 ：最大值的期望不等于期望的最大值 （这个学过期望的应该都明白吧？）
期望突破点就在于操作区间的关系，可以看出这个其实就是一个树形结构。然后我们就可以树形dp了，我们可以设 \(f_{u,i}\) 表示 \(u\) 这个区间最大值小于等于 \((i+\max_{j=l}^{r}a_j)\) 的概率，然后转移就很简单了，具体见代码。最后的答案也很好求，这里就不赘述了。
时间复杂度为 \(\Theta(m^2)\) 。
