容斥原理初探

前言

确实是初探，因为以前学得太烂了。。。

参考了这篇日报: https://www.luogu.com.cn/blog/KingSann/chu-tan-rong-chi-yuan-li

下面的\(U\)是全集，\(|S|\)表示集合\(S\)的大小。

正常项的容斥原理

大概长成这个样子吧:

\[|S_1\cup S_2\cup ...\cup S_m|=\sum_{T\subseteq U}(-1)^{|T|+1}|S_{T1}\cap S_{T2}\cap ...| \]

一般化的容斥原理

下面的答案可以指任意答案。

我们假设存在以下函数:

1. \(q(S)\)，表示至少包含属性集合\(S\)的集合个数

2. \(g(n)\)，表示属性集合大小为\(n\)的集合对答案产生的贡献

3. \(f(i)\)，表示容斥系数

我们需要我们的\(f(i)\)满足答案为\(\sum_{S\subseteq U} q(S)f(|S|)\)。

那么，我们考虑一个大小为\(n\)的集合对答案产生的贡献，显然它满足:

\[\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}f(i)=g(n) \]

这个式子非常显然。

于是，我们就可以推得:

\[f(n)=g(n)-\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}f(i) \]

我们就可以递推求得\(f(x)\)。不过这里有一种更快的方法。我们下面假设\(F(x)\)为\(f(x)\)的指数型生成函数（定义\(f(0)=0\)），\(G(x)\)为\(g(x)\)的指数型生成函数，可以发现:

\[F(x)e^x=G(x) \]

\[\Rightarrow F(x)=e^{-x}G(x) \]

而我们的\(e^{-x}\)又是\(\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^i\dfrac{x^i}{i!}\)，于是我们就可以直接多项式乘法做到\(\Theta(n\log n)\)。

我们其实还可以使用二项式反演求到:

\[f(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i) \]

一些小小的应用

正常项容斥原理的证明

显然，这里的答案就是至少出现过一次的元素个数，属性集合就是一个元素在哪些集合里面出现过，\(g(n)=[n\ge 1]\)，于是根据上面的上面的式子求得\(f(n)=(-1)^{n+1}\)，于是我们得证了。

错排问题

显然，这里的答案就是错排个数，属性集合就表示的是哪些位置对应数相同，\(g(n)\)就是\([n=0]\)。于是，我们发现如果我们取\(f(x)=(-1)^x\)的话，就可以满足:

\[\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i}f(i)=g(n) \]

这个可以使用二项式定理证明。

于是我们的答案就是:

\[\sum_{i=0}^{n}(-1)^i \binom{n}{i}(n-i)! \]

\[=\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \dfrac{n!}{i!} \]

\[=n!\sum_{i=0}^{n} \dfrac{(-1)^i}{i!} \]

然后如果我们设\(f(n)\)为\(n\)个点的错排个数的话，根据上面的式子就可以得到一个递推式:

\[f(n)=(-1)^n+nf(n-1) \]

当然还有考虑组合意义的递推公式，但是与主题无关，所以这里就不讲了。