支配树（灭绝树） 学习笔记

前言

在飞机上的时候理解了一下这个算法，这里写一下吧。本来以前一直以为是个$H_2O$算法（其实也是），结果发现一些证明还是很有意思的。

前置定义

对于一个给定图，我们有如下定义：

• 支配点

我们称$u$为$v$的支配点当且仅当在原图中删去$u$之后从根节点出发无法抵达$v$。

• 半支配点

我们称$u$为$v$的半支配点当且仅当$u$存在一条到$v$的路径使得该路径除去$u,v$所有节点的$dfn$都大于$dfn[v]$，且$u$在满足条件的点集中$dfn$最小。

为了方便，我们称点$u$的半支配点为$sdom[u]$，支配点为$idom[u]$。

支配树思想

这个算法主要是解决支配之类的问题。例如一个点支配多少个点，一个点被多少个点支配之类的。

对于这个问题我们可以建起一棵树，满足点$u$支配的点都在$u$的子树内。

于是问题就是如何建起一棵支配树，据说这个还叫灭绝树（奇怪的名字增加了！！！）

• 树

很显然，对于一棵树，该树的支配树就是它本身。

• $\text {DAG}$

很显然，我们可以直接把点$u$连在$lca(v_1,v_2,...)$的下面，其中存在边$v_1,v_2,...\to u$。

时间复杂度$\Theta(n\log n)$。

例题: [ZJOI2012]灾难

• 任意图

对此，我们$\text {Tarjan}$老爷子和$\text {Lengauer}$提出了一种名为$\text {Lengauer-Tarjan}$的算法，可以在$\Theta(n\log n)$的时间复杂度内建好树，当然，更确切的来说是$\Theta(n\alpha (n))$。

我们发现似乎我们直接求支配点不是很好求，我们考虑如何求出半支配点。

我们发现对于当前节点$u$，如果有边$v\to u$，且$dfn[u]<dfn[v]$，那么在不考虑$dfn$最小的情况下，一定$sdom[v]$为$u$的半支配点。

证明直接感性一下，发现显然，直接根据定义就可以知道正确性。

而且半支配点还有一个性质，就是一个点的半支配点的$dfn$一定不会比该点大，这个下面的性感证明会用到，但是我似乎并没有写出来，读者明白就好。

然后这里就有一个$\Theta(n\log n)$的方法诞生了。我们发现如果删掉原图中非$dfs$树的边，再对于$\forall u$，连上$sdom[u]\to u$，不会改变原图的支配关系。

正确性这里感性证明一下，对于$u,v$，如果在原图中$u$并不支配$v$，那么，如果在$dfs$树中$u$不是$v$的祖先，那显然满足，否则的话，我们可以从$sdom[v]$走到$v$。如果原图中$u$支配$v$的话，很显然，在$dfs$树中$u$是$v$的祖先，因为无论怎么走都得先经过$u$。那么显然$u$还支配$v$。

于是，我们就把这个图变成了一个$\text {DAG}$，就可以用上面的方法$\Theta(n\log n)$做出来了。

但是，这并不满足我们对代码复杂度的渴望。一个小小的思想在我们脑海中划过：我们是否可以用$sdom$求出$idom$？答案是肯定的。为了方便，我们假设我们已经把图变成一个$\text {DAG}$了。

我们分两种情况考虑：

我们设$z$为$sdom[x]\to x$路径上$dfn[sdom[z]]$最小的点

1. 如果$sdom[z]=sdom[x]$

则$idom[x]=sdom[x]$

这个应该很显然吧。。。性感理解的话就是因为不可能有其他点通过$sdom$边走到$sdom[x]\to x$的路径上，因为这条路径上$dfn[sdom[z]]$最小值也不过$sdom[x]$。

2. 否则

$idom[x]=idom[z]$

我们采用反证法来感性证明一下：

我们假设删去$idom[z]$之后仍可达$idom[x]$，那么说明$idom[z]$的某个祖先可以通过$sdom$边走到$idom[z]\to x$这条路径上的某个点，但是我们发现$idom[z]$必定是$sdom[z]$的后代，而$sdom[z]\to z$这条路径上$dfn[sdom[z]]$最小也不过$z$，所以矛盾，证毕。

于是，我们可以用并查集维护$sdom[x]\to x$中$dfn[sdom[\ \ ]]$的最小值，我们就在$\Theta(n\alpha(n))$的时间复杂度内解决了建树的问题。

对了，还有最后的一个问题没有解决，可能细心的读者已经发现了（似乎也木有什么读者），我们并没有说明一个点支配的点都在支配树的子树内。其实很好说明，我们发现我们全都是用的$dfn$最小的点，这就满足充分性。

$\text {The 1st}$

P5180 【模板】支配树

这个题确实就是板题，就是建出支配树后求出子树大小。

代码戳这里打开

$\text {The 2ed}$

题目大意#

给出一个$n$个点$m$条边的带权无向图，给定起点$s$，求出一个点使得删去该点之后最短路变化的点数最多。

思路#

这道题其实还是比较妙的。

我们不难想到先对原图建出一个最短路径图，于是一个点删去产生的贡献就是该图中支配的点数。这个仔细想一下就会明白为什么。

我们发现这个最短路径图一定是个$\text {DAG}$，因为里面如果有环的话就不是最短路径图了，于是我们就可以直接用$\text {LCA}\Theta(n\log n)$解决。

于是我们就在$\Theta(n\log n+m)$的时间复杂度内解决了这个问题。

代码戳这里打开