支配树（灭绝树） 学习笔记
前言
在飞机上的时候理解了一下这个算法，这里写一下吧。本来以前一直以为是个\(H_2O\)算法（其实也是），结果发现一些证明还是很有意思的。
前置定义
对于一个给定图，我们有如下定义：
- 支配点
我们称\(u\)为\(v\)的支配点当且仅当在原图中删去\(u\)之后从根节点出发无法抵达\(v\)。
- 半支配点
我们称\(u\)为\(v\)的半支配点当且仅当\(u\)存在一条到\(v\)的路径使得该路径除去\(u,v\)所有节点的\(dfn\)都大于\(dfn[v]\)，且\(u\)在满足条件的点集中\(dfn\)最小。
为了方便，我们称点\(u\)的半支配点为\(sdom[u]\)，支配点为\(idom[u]\)。
支配树思想
这个算法主要是解决支配之类的问题。例如一个点支配多少个点，一个点被多少个点支配之类的。
对于这个问题我们可以建起一棵树，满足点\(u\)支配的点都在\(u\)的子树内。
于是问题就是如何建起一棵支配树，据说这个还叫灭绝树（奇怪的名字增加了！！！）
- 树
很显然，对于一棵树，该树的支配树就是它本身。
- \(\text {DAG}\)
很显然，我们可以直接把点\(u\)连在\(lca(v_1,v_2,...)\)的下面，其中存在边\(v_1,v_2,...\to u\)。
时间复杂度\(\Theta(n\log n)\)。
例题: [ZJOI2012]灾难
- 任意图
对此，我们\(\text {Tarjan}\)老爷子和\(\text {Lengauer}\)提出了一种名为\(\text {Lengauer-Tarjan}\)的算法，可以在\(\Theta(n\log n)\)的时间复杂度内建好树，当然，更确切的来说是\(\Theta(n\alpha (n))\)。
我们发现似乎我们直接求支配点不是很好求，我们考虑如何求出半支配点。
我们发现对于当前节点\(u\)，如果有边\(v\to u\)，且\(dfn[u]<dfn[v]\)，那么在不考虑\(dfn\)最小的情况下，一定\(sdom[v]\)为\(u\)的半支配点。
证明直接感性一下，发现显然，直接根据定义就可以知道正确性。
而且半支配点还有一个性质，就是一个点的半支配点的\(dfn\)一定不会比该点大，这个下面的性感证明会用到，但是我似乎并没有写出来，读者明白就好。
然后这里就有一个\(\Theta(n\log n)\)的方法诞生了。我们发现如果删掉原图中非\(dfs\)树的边，再对于\(\forall u\)，连上\(sdom[u]\to u\)，不会改变原图的支配关系。
正确性这里感性证明一下，对于\(u,v\)，如果在原图中\(u\)并不支配\(v\)，那么，如果在\(dfs\)树中\(u\)不是\(v\)的祖先，那显然满足，否则的话，我们可以从\(sdom[v]\)走到\(v\)。如果原图中\(u\)支配\(v\)的话，很显然，在\(dfs\)树中\(u\)是\(v\)的祖先，因为无论怎么走都得先经过\(u\)。那么显然\(u\)还支配\(v\)。
于是，我们就把这个图变成了一个\(\text {DAG}\)，就可以用上面的方法\(\Theta(n\log n)\)做出来了。
但是，这并不满足我们对代码复杂度的渴望。一个小小的思想在我们脑海中划过：我们是否可以用\(sdom\)求出\(idom\)？答案是肯定的。为了方便，我们假设我们已经把图变成一个\(\text {DAG}\)了。
我们分两种情况考虑：
我们设\(z\)为\(sdom[x]\to x\)路径上\(dfn[sdom[z]]\)最小的点
- 如果\(sdom[z]=sdom[x]\)
则\(idom[x]=sdom[x]\)
这个应该很显然吧。。。性感理解的话就是因为不可能有其他点通过\(sdom\)边走到\(sdom[x]\to x\)的路径上，因为这条路径上\(dfn[sdom[z]]\)最小值也不过\(sdom[x]\)。
- 否则
\(idom[x]=idom[z]\)
我们采用反证法来感性证明一下：
我们假设删去\(idom[z]\)之后仍可达\(idom[x]\)，那么说明\(idom[z]\)的某个祖先可以通过\(sdom\)边走到\(idom[z]\to x\)这条路径上的某个点，但是我们发现\(idom[z]\)必定是\(sdom[z]\)的后代，而\(sdom[z]\to z\)这条路径上\(dfn[sdom[z]]\)最小也不过\(z\)，所以矛盾，证毕。
于是，我们可以用并查集维护\(sdom[x]\to x\)中\(dfn[sdom[\ \ ]]\)的最小值，我们就在\(\Theta(n\alpha(n))\)的时间复杂度内解决了建树的问题。
对了，还有最后的一个问题没有解决，可能细心的读者已经发现了（似乎也木有什么读者），我们并没有说明一个点支配的点都在支配树的子树内。其实很好说明，我们发现我们全都是用的\(dfn\)最小的点，这就满足充分性。
\(\text {The 1st}\)
这个题确实就是板题，就是建出支配树后求出子树大小。
\(\text {The 2ed}\)
题目大意
给出一个\(n\)个点\(m\)条边的带权无向图，给定起点\(s\)，求出一个点使得删去该点之后最短路变化的点数最多。
思路
这道题其实还是比较妙的。
我们不难想到先对原图建出一个最短路径图，于是一个点删去产生的贡献就是该图中支配的点数。这个仔细想一下就会明白为什么。
我们发现这个最短路径图一定是个\(\text {DAG}\)，因为里面如果有环的话就不是最短路径图了，于是我们就可以直接用\(\text {LCA}\Theta(n\log n)\)解决。
于是我们就在\(\Theta(n\log n+m)\)的时间复杂度内解决了这个问题。
