极限的简单应用

引子：

龟兔赛跑的时候，如果让乌龟先“跑”一段时间t1，那么兔子将永远赶不上乌龟(兔子睡觉是寓言故事，跟这儿一点儿关系都没有)。

原因如下：

乌龟先走了t1分钟，走了一段路程s1，这时候兔子从起点出发，当兔子花费了t2时间(按理来说小于5分钟)跑了s1的路程，而在这t时间内，乌龟会向前走s2的路程，兔子需要花t3的时间再往前行走s2的路程，在t3时间内，乌龟会再次行走 s3 的路程。。。。。。。一直这样进行下去之后，兔子只会和乌龟的距离越来越接近，永远也不能超过乌龟。

这种情况当然不会真的发生，这种说法乍一看好像是对的，但是在心里总会感觉哪儿又不是这样。

在重新复习了一下微积分后，终于想通了这个问题。啊！奇妙的数学。

正解：

兔子会在 t(n)时刻和乌龟距离起点的路程相同，超过 t(n) 后，兔子会超过乌龟。

用极限的方法来说明这个问题。

设乌龟和兔子的速度都是匀速。vt 表示兔子的速度，vw 表示乌龟的速度，vt=vw+a  (a>0)

乌龟比兔子先跑了 b 时间， b 时间之后，兔子开始从起点出发，兔子的时间 tt 为 乌龟的时间减去 b。tt + b = tw     (b>0)

路程 s 为 速度和时间的乘积。st = vt*tt

                                      sw = vw*tw

求：st=sw 的时间。

sw-st=0  =====>   vw*tw - vt*tt = 0 =====>这时得到的解就是兔子和乌龟在距离起点相同路程的时间。

假设这个时间最后为 tn，我们可以说

在时间在 tn 时刻的极限值为 m, 这时 f(tn)=g(tn)。

lim f(t)=lim g(t)

t->tn  

从初等数学中求解是很容易的事情，但是个人觉得用极限的理论来反驳刚才的引子应该算是一个比较不错的方法。