【算法】KMP 与 Z 函数
1. KMP
1.1 算法简介
可以做到线性匹配的快速匹配字符串的算法，并可以维护字符串最长公共前后缀，扩展出计算字符串周期。
在 OI 界 KMP 算法是字符串板块中很经典的算法，可以扩展出很多巧妙的解题技巧。
1.2 算法流程
1.2.1 字符串匹配
考虑 \(O(n^2)\) 暴力的匹配，瓶颈在于每次匹配了很多重复却非法的字符导致效率很慢。
然后就是考虑如何优化，无非就是利用已经计算过的信息。
这里补充一个 最长公共前后缀 的概念：对于字符串 \(a\)，最长公共前后缀的长度为满足 \(a[1,i]=a[n-i+1,n]\) 的最大的 \(i(i<n)\)。可以发现如果该定义包含本身则没有意义（长度一定为 \(n\)）。所以需要保证最长公共前后缀小于本身的长度。
一个匹配下分 \(s\)（模式串）和 \(t\) （匹配串），串长分别为 \(n\) 和 \(m\)。记 \(kmp_i (1\le i\le m)\) 表示前缀 \(t[1,i]\) 的最长公共前后缀。
假设已经计算出了 \(kmp_i\)。考虑如何匹配字符串。
s: caabaaabacb
t: aaba
此时 \(kmp:[0,1,0,1]\)。
- \(i=1，j=1\)；此时两串匹配的为空串，\(i\to i+1\)
- \(i=2，j=1\)；此时两串可匹配成功，匹配了
aaba，\(i\to i+1,j=kmp_{j}=kmp_{4}=1\) - \(i=3，j=2\)；此时两串匹配了
a，\(i\to i+1,j=kmp_{j}=kmp_{1}=0\) - \(i=4，j=1\)；此时两串匹配的为空串，\(i\to i+1\)
- \(i=5，j=1\)；此时两串匹配了
aa，\(i\to i+1,j=kmp_{j}=kmp_{2}=1\) - \(i=6，j=2\)；此时两串可匹配成功，匹配了
aaba，\(i\to i+1,j=kmp_{j}=kmp_{4}=1\)
如此匹配，我们便找到了所有的合法匹配位置，分别为 \(2,6\)。
考虑分析时间复杂度，可以看成 \((i,j)\) 对齐，按位匹配。所以整个流程 \(t\) 串一直在往前移动，时间复杂度 \(O(n+m)\)。
1.2.2 计算 kmp 数组
和匹配很像，相当于自己和自己匹配。所到之处的 \(j\) 记录为 \(kmp_i\) 即可。
不过更好的理解是用两个指针 \((i,j)\)。如果 \(s_i\) 与 \(s_j\) 匹配，则将 \(j\) 指针后移，否则跳 \(kmp_j\)（可以保证 \(kmp_j\) 已经算出）。然后 \(kmp_i=j\)。
这个过程一定也是 \(O(n)\) 的。分析与证明参考匹配。
1.3 算法实现
计算 \(kmp\) 数组：
for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
while(j && t[j + 1] != t[i]) j = nx[j];
if(t[j + 1] == t[i]) j++;
nx[i] = j;
}
匹配：
for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
while(j && t[j + 1] != s[i]) j = nx[j];
if(t[j + 1] == s[i]) j++;
if(j == m) {
cout << i - m + 1 << '\n';
}
}
然后是 P3375 【模板】KMP，就把她俩整合一下即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n, m, nx[N];
char s[N], t[N];
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >> (s + 1) >> (t + 1);
n = strlen(s + 1);
m = strlen(t + 1);
for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
while(j && t[j + 1] != t[i]) j = nx[j];
if(t[j + 1] == t[i]) j++;
nx[i] = j;
}
for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
while(j && t[j + 1] != s[i]) j = nx[j];
if(t[j + 1] == s[i]) j++;
if(j == m) {
cout << i - m + 1 << '\n';
}
}
For(i,1,m) cout << nx[i] << ' ';
return 0;
}
1.4 扩展
1.4.1 字符串周期
给定一个字符串 \(s\)，判断其前缀 \(s[1,i]\) 是否为周期字符串，并求出其周期长度和循环节数量。
可以发现一些性质：如果对于 \(s[1,i]\)，\(i \bmod (i-kmp_i) = 0\)，则为周期字符串。
证明很简单。
按照这样的方式对于每一个小块染上不同的颜色。
这里红色段和黄色段相等。
这样每一个小段可以传递相等。这样就可以证明出其为周期字符串。
代码挂着
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define reg register
#define For(i,l,r) for(reg int i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(reg int i=r;i>=l;--i)
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n, kmp[N], id;
char s[N];
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
while(cin >> n && n != 0) {
For(i,1,n) kmp[i] = 0;
cin >> (s + 1);
for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
while(j && s[i] != s[j + 1]) j = kmp[j];
if(s[i] == s[j + 1]) j++;
kmp[i] = j;
}
++id;
cout << "Test case #" << id << '\n';
For(i,1,n) {
if(i % (i - kmp[i]) == 0 && kmp[i] != 0) {
cout << i << ' ' << (i / (i - kmp[i])) << '\n';
}
}
cout << '\n';
}
return 0;
}
2. Z 函数
2.1 算法流程
有一个这样的问题：
给定两个字符串 \(a,b\)，你要求出两个数组：
- \(b\) 的 \(z\) 函数数组 \(z\)，即 \(b\) 与 \(b\) 的每一个后缀的 LCP 长度。
- \(b\) 与 \(a\) 的每一个后缀的 LCP 长度数组 \(p\)。
对于第一个 subtask 所求的数组 \(z\)，则为 Z 函数，可以用 扩展 KMP 算法（exKMP） 求得。
2.1.1 暴力求解
很好想，就拿一对指针 \((i,j)\) 去匹配，匹配记录，失配重置。
时间复杂度 \(O(n^2)\)
2.1.2 Z-box 引入
维护一个区间 \([l,r]\)，\(l=i,r=i+z_i-1\)，其中 \(r\) 为已知最大的合法右端点。
对于 \(i\le r\)，可以分为 \(z_{i-l+1}<r-l+1\) 和 \(z_{i-l+1}\ge r-l+1\) 两种情况。
- \(z_{i-l+1}<r-l+1\)；此时 \(z_i=z_{i-l+1}\)
- \(z_{i-l+1}\ge r-l+1\)；此时 \(z_i=r-i+1\)，然后暴力匹配。
其他情况暴力匹配，然后更新 \([l,r]\) 即可。
时间复杂度 \(O(n)\)，这样可以做到线性了。
可以发现 \(exKMP\) 和 \(Manacher\) 的算法思想很像。
2.2 算法实现。
计算 \(Z\) 函数：
z[1] = m;
for (reg int i = 2, l, r = 0; i <= m; ++i) {
if(i <= r) z[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
while(i + z[i] <= m && t[1 + z[i]] == t[i + z[i]]) z[i]++;
if(i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
}
计算 \(s,t\) 后缀的公共最长前缀。
把匹配 \(s\) 的数组换成 \(p\)，求法和 \(Z\) 函数的求法一样。
for (reg int i = 1, l, r = 0; i <= n; ++i) {
if(i <= r) p[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
while(1 + p[i] <= m && i + p[i] <= n && s[i + p[i]] == t[1 + p[i]]) p[i]++;
if(i + p[i] - 1 > r) l = i, r = i + p[i] - 1;
}
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define reg register
#define For(i,l,r) for(reg int i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(reg int i=r;i>=l;--i)
using namespace std;
const int N = 2e7 + 10;
int n, m, z[N], p[N], ans1, ans2;
char s[N], t[N];
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >> (s + 1) >> (t + 1);
n = strlen(s + 1), m = strlen(t + 1);
z[1] = m;
for (reg int i = 2, l, r = 0; i <= m; ++i) {
if(i <= r) z[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
while(i + z[i] <= m && t[1 + z[i]] == t[i + z[i]]) z[i]++;
if(i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
}
for (reg int i = 1, l, r = 0; i <= n; ++i) {
if(i <= r) p[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
while(1 + p[i] <= m && i + p[i] <= n && s[i + p[i]] == t[1 + p[i]]) p[i]++;
if(i + p[i] - 1 > r) l = i, r = i + p[i] - 1;
}
For(i,1,m) ans1 = (ans1 ^ (i * (z[i] + 1)));
For(i,1,n) ans2 = (ans2 ^ (i * (p[i] + 1)));
cout << ans1 << '\n' << ans2 << '\n';
return 0;
}
