【算法】KMP 与 Z 函数

1. KMP#

1.1 算法简介#

可以做到线性匹配的快速匹配字符串的算法，并可以维护字符串最长公共前后缀，扩展出计算字符串周期。

在 OI 界 KMP 算法是字符串板块中很经典的算法，可以扩展出很多巧妙的解题技巧。

1.2 算法流程#

1.2.1 字符串匹配#

考虑 $O(n^2)$ 暴力的匹配，瓶颈在于每次匹配了很多重复却非法的字符导致效率很慢。

然后就是考虑如何优化，无非就是利用已经计算过的信息。

这里补充一个 最长公共前后缀 的概念：对于字符串 $a$，最长公共前后缀的长度为满足 $a[1,i]=a[n-i+1,n]$ 的最大的 $i(i<n)$。可以发现如果该定义包含本身则没有意义（长度一定为 $n$）。所以需要保证最长公共前后缀小于本身的长度。

一个匹配下分 $s$（模式串）和 $t$ （匹配串），串长分别为 $n$ 和 $m$。记 $km{p}_i(1\le i\le m)$ 表示前缀 $t[1,i]$ 的最长公共前后缀。

假设已经计算出了 $km{p}_i$。考虑如何匹配字符串。

s: caabaaabacb
t: aaba

此时 $kmp:[0,1,0,1]$。

• $i=1，j=1$；此时两串匹配的为空串，$i\to i+1$
• $i=2，j=1$；此时两串可匹配成功，匹配了 aaba，$i\to i+1,j=km{p}_j=km{p}_4=1$
• $i=3，j=2$；此时两串匹配了 a，$i\to i+1,j=km{p}_j=km{p}_1=0$
• $i=4，j=1$；此时两串匹配的为空串，$i\to i+1$
• $i=5，j=1$；此时两串匹配了 aa，$i\to i+1,j=km{p}_j=km{p}_2=1$
• $i=6，j=2$；此时两串可匹配成功，匹配了 aaba，$i\to i+1,j=km{p}_j=km{p}_4=1$

如此匹配，我们便找到了所有的合法匹配位置，分别为 $2,6$。

考虑分析时间复杂度，可以看成 $(i,j)$ 对齐，按位匹配。所以整个流程 $t$ 串一直在往前移动，时间复杂度 $O(n+m)$。

1.2.2 计算 kmp 数组#

和匹配很像，相当于自己和自己匹配。所到之处的 $j$ 记录为 $km{p}_i$ 即可。

不过更好的理解是用两个指针 $(i,j)$。如果 $s_i$ 与 $s_j$ 匹配，则将 $j$ 指针后移，否则跳 $km{p}_j$（可以保证 $km{p}_j$ 已经算出）。然后 $km{p}_i=j$。

这个过程一定也是 $O(n)$ 的。分析与证明参考匹配。

1.3 算法实现#

计算 $kmp$ 数组：

for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
  while(j && t[j + 1] != t[i]) j = nx[j];
  if(t[j + 1] == t[i]) j++;
  nx[i] = j;
}

匹配：

for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
  while(j && t[j + 1] != s[i]) j = nx[j];
  if(t[j + 1] == s[i]) j++;
  if(j == m) {
    cout << i - m + 1 << '\n';
  }
}

然后是 P3375 【模板】KMP，就把她俩整合一下即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n, m, nx[N];

char s[N], t[N];

signed main() {
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> (s + 1) >> (t + 1);
  n = strlen(s + 1);
  m = strlen(t + 1);
  for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
    while(j && t[j + 1] != t[i]) j = nx[j];
    if(t[j + 1] == t[i]) j++;
    nx[i] = j;
  }
  for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
    while(j && t[j + 1] != s[i]) j = nx[j];
    if(t[j + 1] == s[i]) j++;
    if(j == m) {
      cout << i - m + 1 << '\n';
    }
  }
  For(i,1,m) cout << nx[i] << ' ';
  return 0;
}

1.4 扩展#

1.4.1 字符串周期#

UVA1328 Period

给定一个字符串 $s$，判断其前缀 $s[1,i]$ 是否为周期字符串，并求出其周期长度和循环节数量。

可以发现一些性质：如果对于 $s[1,i]$，$imod(i-km{p}_i)=0$，则为周期字符串。

证明很简单。

按照这样的方式对于每一个小块染上不同的颜色。

这里红色段和黄色段相等。

这样每一个小段可以传递相等。这样就可以证明出其为周期字符串。

代码挂着

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define reg register 
#define For(i,l,r) for(reg int i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(reg int i=r;i>=l;--i)

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n, kmp[N], id;

char s[N];

signed main() {
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0), cout.tie(0);
  while(cin >> n && n != 0) {
    For(i,1,n) kmp[i] = 0;
    cin >> (s + 1);
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
      while(j && s[i] != s[j + 1]) j = kmp[j];
      if(s[i] == s[j + 1]) j++;
      kmp[i] = j;
    }
    ++id;
    cout << "Test case #" << id << '\n';
    For(i,1,n) {
      if(i % (i - kmp[i]) == 0 && kmp[i] != 0) {
        cout << i << ' ' << (i / (i - kmp[i])) << '\n';
      }
    } 
    cout << '\n';
  }
  return 0;
}

2. Z 函数#

2.1 算法流程#

有一个这样的问题：

给定两个字符串 $a,b$，你要求出两个数组：

• $b$ 的 $z$ 函数数组 $z$，即 $b$ 与 $b$ 的每一个后缀的 LCP 长度。
• $b$ 与 $a$ 的每一个后缀的 LCP 长度数组 $p$。

对于第一个 subtask 所求的数组 $z$，则为 Z 函数，可以用 扩展 KMP 算法（exKMP） 求得。

2.1.1 暴力求解#

很好想，就拿一对指针 $(i,j)$ 去匹配，匹配记录，失配重置。

时间复杂度 $O(n^2)$

2.1.2 Z-box 引入#

维护一个区间 $[l,r]$，$l=i,r=i+z_i-1$，其中 $r$ 为已知最大的合法右端点。

对于 $i\le r$，可以分为 $z_{i-l+1}<r-l+1$ 和 $z_{i-l+1}\ge r-l+1$ 两种情况。

• $z_{i-l+1}<r-l+1$；此时 $z_i=z_{i-l+1}$
• $z_{i-l+1}\ge r-l+1$；此时 $z_i=r-i+1$，然后暴力匹配。

其他情况暴力匹配，然后更新 $[l,r]$ 即可。

时间复杂度 $O(n)$，这样可以做到线性了。

可以发现 $exKMP$ 和 $Manacher$ 的算法思想很像。

2.2 算法实现。#

计算 $Z$ 函数：

z[1] = m;
for (reg int i = 2, l, r = 0; i <= m; ++i) {
  if(i <= r) z[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
  while(i + z[i] <= m && t[1 + z[i]] == t[i + z[i]]) z[i]++;
  if(i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
}

计算 $s,t$ 后缀的公共最长前缀。

把匹配 $s$ 的数组换成 $p$，求法和 $Z$ 函数的求法一样。

for (reg int i = 1, l, r = 0; i <= n; ++i) {
  if(i <= r) p[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
  while(1 + p[i] <= m && i + p[i] <= n && s[i + p[i]] == t[1 + p[i]]) p[i]++;
  if(i + p[i] - 1 > r) l = i, r = i + p[i] - 1;
}

然后是 【模板】扩展 KMP/exKMP（Z 函数）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define reg register
#define For(i,l,r) for(reg int i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(reg int i=r;i>=l;--i)

using namespace std;

const int N = 2e7 + 10;

int n, m, z[N], p[N], ans1, ans2;

char s[N], t[N];

signed main() {
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> (s + 1) >> (t + 1);
  n = strlen(s + 1), m = strlen(t + 1);
  z[1] = m;
  for (reg int i = 2, l, r = 0; i <= m; ++i) {
    if(i <= r) z[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
    while(i + z[i] <= m && t[1 + z[i]] == t[i + z[i]]) z[i]++;
    if(i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
  }
  for (reg int i = 1, l, r = 0; i <= n; ++i) {
    if(i <= r) p[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
    while(1 + p[i] <= m && i + p[i] <= n && s[i + p[i]] == t[1 + p[i]]) p[i]++;
    if(i + p[i] - 1 > r) l = i, r = i + p[i] - 1;
  }
  For(i,1,m) ans1 = (ans1 ^ (i * (z[i] + 1)));
  For(i,1,n) ans2 = (ans2 ^ (i * (p[i] + 1)));
  cout << ans1 << '\n' << ans2 << '\n';
  return 0;
}