【真题研究】春季测试 2023

T1.涂色游戏（paint）

可以按照题意模拟，每一次暴力对于每一行列染色，时间复杂度 \(O(qn)\)。可得60pts。

因为颜色可以覆盖，某一格的颜色往往取决于最后一次被染到的颜色。

于是我们采用打标记的方式。每一次染色（行或列）就在当前行列打标记，记操作时间戳 \(t\)。

最后输出答案时枚举每一格，比较当前行列的时间戳 \(t\)，\(t\) 更大的标记对应的颜色就是覆盖的颜色。

时间复杂度 \(O(q+nm)\)，100pts。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define rint register int 
#define For(i,l,r) for(rint i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(rint i=r;i>=l;--i)
using namespace std;

inline int read() {
  rint x=0,f=1;char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
  return x*f;
} 

const int N = 1e6 + 5;

struct Node {
  int id, c;
} Ansh[N], Ansl[N];

int n, m, T, q;

void init() {
  For(i,1,n) {
    For(j,1,m) {
      Ansh[i] = (Node) {0, 0};
      Ansl[j] = (Node) {0, 0};
    } 
  } 
}

signed main() {
  T = read();
  while(T--) {
    n = read(), m = read(), q = read();
    init();
    For(l,1,q) {
      int op = read(), x = read(), c = read();
      if(op == 0) {
        Ansh[x] = (Node) {l, c};
      } else {
        Ansl[x] = (Node) {l, c};
      }
    }
    For(i,1,n) {
      For(j,1,m) {
        if(j != m) {
          if(Ansh[i].id > Ansl[j].id) {
            cout << Ansh[i].c << ' ';
          } else {
            cout << Ansl[j].c << ' ';
          }
        }
        else {
          if(Ansh[i].id > Ansl[j].id) {
            cout << Ansh[i].c;
          } else {
            cout << Ansl[j].c;
          } 
        }
      }
      cout << endl;
    }
  }
  return 0;
}

T2.幂次（power）

• \(k=1\)

答案显然就是 \(n\)。

• \(k\geq 3\)

注意到，若 \(x\) 质因数分解后满足不为 \(p_1^{a}p_2^{a}p_3^{a}...p_m^{a}\) 的形式，则将答案在 \(x\) 时记下不会记重。

枚举底数 \(a\)，时间复杂度显然在 \(O(n^{\frac{1}{3}})\) 阶内。然后暴力枚举指数 \(b\)，并打标记防止记重（标记数组用 map 存）。统计记录下个数。

这样时间复杂度 \(O(n^{\frac{1}{3}}\log n)\)，可以接受。45pts。

• \(k=2\)

相当于在 \(k\ge 3\) 的基础上多加了一堆完全平方数。

已知所有 \(\le n\) 的完全平方数的数量为 \(\left\lfloor \sqrt n \right\rfloor\)。但是直接加上会记重，原因是那些 \(k \ge 3\) 中的方案里也有完全平方数，比如 \(4^3=8^2=64\)。于是你只要记下那些 \(k \ge 3\) 中的方案的完全平方数的个数，容斥掉就可以了。

总时间复杂度还是 \(O(n^{\frac{1}{3}}\log n)\)。100pts。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rint register int 
#define For(i,l,r) for(rint i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(rint i=r;i>=l;--i)

using namespace std;

int n, k, ans, und;

map<int, bool> vis;

int qpow(int a, int b) {
  int res = 1;
  for (; b; b >>= 1, a = a * a) {
    if(b & 1) res = res * a;
  }
  return res;
}

signed main() {
  cin >> n >> k;
  if(k == 1) cout << n << '\n';
  else if(k >= 2){
    for (int i = 2; i * i * i <= n; ++i) {
      for (int j = i * i, kk = 2; ; ) {
        if(j > n/i) break;
        j *= i, kk++;
        if(kk < k) continue;
        if(vis[j]) continue;
        vis[j] = 1;
        ans++;
        if((int)sqrtl(j)*sqrtl(j) == j) und++;
      }
    }
    if(k >= 3) cout << ans+1 << '\n';
    else cout << (int)sqrtl(n) + ans - und << '\n';
  }  
  return 0;
}