【文化课 / 数学】指对放缩

1. 指对切线放缩#

主要放缩形式有四种：

• $e^x\ge x+1$
• $e^x\ge ex$
• $\ln x\le x-1$
• $\ln x\le {\displaystyle \frac{x}{e}}$

一，二用于往小缩，三，四用于往大放。

对以上放缩进行证明：

1. $e^x\ge x+1$.
   构造 $f(x)=e^x-x-1$，对函数求导得到 $f^{\prime }(x)=e^x-1$.
   容易发现 $f^{\prime }(x)$ 单调递增，当 $x>0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；当 $x<0$ 时，$f^{\prime }(x)<0$.
   所以 $x=0$ 时，$f(x{)}_{min}=0$.
   故 $f(x)=e^x-x-1\ge 0$，得 $e^x\ge x+1$.
   证毕.

2. $e^x\ge ex$.
   构造 $f(x)=e^x-ex$，对函数求导得到 $f^{\prime }(x)=e^x-e$.
   容易发现 $f^{\prime }(x)$ 单调递增，当 $x>1$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；当 $x<1$ 时，$f^{\prime }(x)<0$.
   所以 $x=1$ 时，$f(x{)}_{min}=0$.
   故 $f(x)=e^x-ex\ge 0$，得 $e^x\ge ex$.
   证毕.

3. $\ln x\le x-1$.
   构造 $f(x)=\ln x-x+1$，对函数求导得到 $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-1$.
   容易发现 $f^{\prime }(x)$ 单调递增，当 $x>1$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x<1$ 时，$f^{\prime }(x)>0$.
   所以 $x=1$ 时，$f(x{)}_{max}=0$.
   故 $f(x)=\ln x-x+1\le 0$，得 $\ln x\le x-1$.
   证毕.

4. $\ln x\le {\displaystyle \frac{x}{e}}$.
   构造 $f(x)=\ln x-{\displaystyle \frac{x}{e}}$，对函数求导得到 $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{e}}$.
   容易发现 $f^{\prime }(x)$ 单调递增，当 $x>e$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x<e$ 时，$f^{\prime }(x)>0$.
   所以 $x=e$ 时，$f(x{)}_{max}=0$.
   故 $f(x)=\ln x-{\displaystyle \frac{x}{e}}$，得 $\ln x\le {\displaystyle \frac{x}{e}}$.
   证毕.

1.1 例题1#

证 $e^x-\ln (x+2)>0$ 恒成立。

证明：原不等式等价于 $e^x>\ln (x+2)$.
由 $e^x\ge x+1$，$\ln x\le x-1$ 可知，$e^x\ge x+1\ge \ln (x+2)$.
两不等式取等条件不同，故 $e^x>\ln (x+2)$，即 $e^x-\ln (x+2)>0$.

1.2 例题2#

当 $x>0$ 时，证 $e{x}^2-x\ln x<x{e}^x+{\displaystyle \frac{1}{e}}$.

证明：原不等式等价于 $ex-\ln x<e^x+{\displaystyle \frac{1}{ex}}$.
因为 $e^x\ge ex$，即证明 $-\ln x<{\displaystyle \frac{1}{ex}}$.
由 $-\ln x=\ln {\displaystyle \frac{1}{x}}$ 可知，要证明 $\ln {\displaystyle \frac{1}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{ex}}$.
因为 $\ln {\displaystyle \frac{1}{x}}\le {\displaystyle \frac{1}{ex}}$，所以 $\ln {\displaystyle \frac{1}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{ex}}$ 成立。
得证：$e{x}^2-x\ln x<x{e}^x+{\displaystyle \frac{1}{e}}$.

1.3 例题3#

当 $x>0$ 时，证 $e^x+x^2-(e+1)x+{\displaystyle \frac{e}{x}}>2$.

证明：由 $e^x\ge ex$ 可知，放缩后原不等式为 $x^2-x+{\displaystyle \frac{e}{x}}>2$.
配方可得 $x^2-2x+1+{\displaystyle \frac{e}{x}}>2-x+1$ 推得 $(x-1{)}^2+{\displaystyle \frac{e}{x}}+x>3$.
由基本不等式可知 $x+{\displaystyle \frac{e}{x}}\ge 2\sqrt{e}$，易得原不等式成立。
故 $e^x+x^2-(e+1)x+{\displaystyle \frac{e}{x}}>2$.

2. 指对放缩 plus#

• $e^x\ge x+1\to e^x\ge {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x+1$.$(x\ge 0)$
• $e^x\ge ex\to e^x\ge ex+{\displaystyle \frac{e}{2}}(x-1{)}^2\ge ex+(x-1{)}^2$.$(x\ge 0)$
• $\ln x\le x-1\to \ln x\ge 1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

上式相较于普通版本精度更高。

对以上放缩进行推导：

1. $e^x\ge {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x+1$.$(x\ge 0)$.
   构造函数 $f(x)=e^x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x-1$，对函数求导 $f^{\prime }(x)=e^x-x-1$.
   容易发现 $f^{\prime }(x)$ 单调递增，当 $x>0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；当 $x<0$ 时，$f^{\prime }(x)<0$.
   所以 $x=0$ 时，$f(x{)}_{min}=0$.
   故 $f(x)=e^x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x-1\ge 0$，得 $e^x\ge {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x+1$.$(x\ge 0)$.
   证毕。

2. $e^x\ge ex+{\displaystyle \frac{e}{2}}(x-1{)}^2$.
   将 $e^{x-1}$ 用 $e^x\ge {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x+1$ 放缩可得 $e^{x-1}\ge {\displaystyle \frac{{x-1}^2}{2}}+x$
   所以 $e^x\ge ex+{\displaystyle \frac{e}{2}}(x-1{)}^2$.
   证毕。

3. $e^x\ge ex+(x-1{)}^2$.
   由 $2$ 显然。

4. $\ln x\ge 1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.
   由 $\ln {\displaystyle \frac{1}{x}}\le {\displaystyle \frac{1}{x}}-1$ 可知 $-\ln {\displaystyle \frac{1}{x}}\ge 1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.
   由 $-\ln x=\ln {\displaystyle \frac{1}{x}}$ 可知，$\ln x\ge 1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.
   证毕。

2.1 例题 1#

证 $e^x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\ge 2-\ln x+x^2+(e-2)x$.

证明：由 $e^x\ge ex+(x-1{)}^2$，$\ln x\le x-1$，当 $x=1$ 时同时取等可知，$ex+(x-1{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}\ge 2-x+1+x^2+(e-2)x$.
所以 ${\displaystyle \frac{1}{x}}\ge -x+2$，化简得 $(x-1{)}^2\ge 0$.
故 $e^x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\ge 2-\ln x+x^2+(e-2)x$ 成立.

3. 飘带放缩#

• ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})\le \ln x\le {\displaystyle \frac{2(x-1)}{x+1}}$.$(x\in (0,1])$.
• ${\displaystyle \frac{2(x-1)}{x+1}}\le \ln x\le {\displaystyle \frac{1}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})$.$(x\in (1,+\mathrm{\infty }])$.

对以上放缩进行证明：

1. ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})\le \ln x$.$(x\in (0,1])$.
   构造函数 $f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2x}}-\ln x$，对函数求导 $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{2x^2}}\ge 0$.
   所以 $f(x)$ 单调递增，当 $x=1$ 时，$f(x)=0$.
   因为 $x\le 1$，所以 $f(x)\le 0$。故 ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})\le \ln x$.$(x\in (0,1])$.

2. $\ln x\le {\displaystyle \frac{2(x-1)}{x+1}}$.$(x\in (0,1])$.
   构造函数 $f(x)=\ln x-{\displaystyle \frac{2(x-1)}{x+1}}$，对函数求导 $f^{\prime }(x)=-4(x+1{)}^{-2}+x^{-1}={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x(x+1{)}^2}}\ge 0$.
   所以 $f(x)$ 单调递增，当 $x=1$ 时，$f(x)=0$.
   因为 $x\le 1$，所以 $f(x)\le 0$。故 $\ln x\le {\displaystyle \frac{2(x-1)}{x+1}}$.$(x\in (0,1])$.

所以 ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})\le \ln x\le {\displaystyle \frac{2(x-1)}{x+1}}$.$(x\in (0,1])$.
${\displaystyle \frac{2(x-1)}{x+1}}\le \ln x\le {\displaystyle \frac{1}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})$.$(x\in (1,+\mathrm{\infty }])$. 同理可得。