【文化课 / 数学】指对放缩

1. 指对切线放缩

主要放缩形式有四种：

• \(e^x \geq x+1\)
• \(e^x \geq ex\)
• \(\ln x\leq x-1\)
• \(\ln x\leq \dfrac{x}{e}\)

一，二用于往小缩，三，四用于往大放。

对以上放缩进行证明：

1. \(e^x \geq x+1\).
   构造 \(f(x)=e^x-x-1\)，对函数求导得到 \(f'(x)=e^x-1\).
   容易发现 \(f'(x)\) 单调递增，当 \(x>0\) 时，\(f'(x)>0\)；当 \(x<0\) 时，\(f'(x)<0\).
   所以 \(x=0\) 时，\(f(x)_{min}=0\).
   故 \(f(x)=e^x-x-1\geq0\)，得 \(e^x \geq x+1\).
   证毕.

2. \(e^x \geq ex\).
   构造 \(f(x)=e^x-ex\)，对函数求导得到 \(f'(x)=e^x-e\).
   容易发现 \(f'(x)\) 单调递增，当 \(x>1\) 时，\(f'(x)>0\)；当 \(x<1\) 时，\(f'(x)<0\).
   所以 \(x=1\) 时，\(f(x)_{min}=0\).
   故 \(f(x)=e^x-ex\geq0\)，得 \(e^x \geq ex\).
   证毕.

3. \(\ln x\leq x-1\).
   构造 \(f(x)=\ln x-x+1\)，对函数求导得到 \(f'(x)=\dfrac{1}{x}-1\).
   容易发现 \(f'(x)\) 单调递增，当 \(x>1\) 时，\(f'(x)<0\)；当 \(x<1\) 时，\(f'(x)>0\).
   所以 \(x=1\) 时，\(f(x)_{max}=0\).
   故 \(f(x)=\ln x-x+1\leq0\)，得 \(\ln x\leq x-1\).
   证毕.

4. \(\ln x\leq \dfrac{x}{e}\).
   构造 \(f(x)=\ln x-\dfrac{x}{e}\)，对函数求导得到 \(f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e}\).
   容易发现 \(f'(x)\) 单调递增，当 \(x>e\) 时，\(f'(x)<0\)；当 \(x<e\) 时，\(f'(x)>0\).
   所以 \(x=e\) 时，\(f(x)_{max}=0\).
   故 \(f(x)=\ln x-\dfrac{x}{e}\)，得 \(\ln x\leq \dfrac{x}{e}\).
   证毕.

1.1 例题1

证 \(e^x-\ln (x+2)>0\) 恒成立。

证明：原不等式等价于 \(e^x>\ln (x+2)\).
由 \(e^x\geq x+1\)，\(\ln x\leq x-1\) 可知，\(e^x\geq x+1 \geq \ln(x+2)\).
两不等式取等条件不同，故 \(e^x>\ln (x+2)\)，即 \(e^x-\ln (x+2)>0\).

1.2 例题2

当 \(x>0\) 时，证 \(ex^2-x\ln x<xe^x+\dfrac{1}{e}\).

证明：原不等式等价于 \(ex-\ln x<e^x+\dfrac{1}{ex}\).
因为 \(e^x\geq ex\)，即证明 \(-\ln x<\dfrac{1}{ex}\).
由 \(-\ln x=\ln \dfrac{1}{x}\) 可知，要证明 \(\ln \dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{ex}\).
因为 \(\ln \dfrac{1}{x}\leq\dfrac{1}{ex}\)，所以 \(\ln \dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{ex}\) 成立。
得证：\(ex^2-x\ln x<xe^x+\dfrac{1}{e}\).

1.3 例题3

当 \(x>0\) 时，证 \(e^x+x^2-(e+1)x+\dfrac{e}{x}>2\).

证明：由 \(e^x\geq ex\) 可知，放缩后原不等式为 \(x^2-x+\dfrac{e}{x}>2\).
配方可得 \(x^2-2x+1+\dfrac{e}{x}>2-x+1\) 推得 \((x-1)^2+\dfrac{e}{x}+x>3\).
由基本不等式可知 \(x+\dfrac{e}{x}\geq2\sqrt e\)，易得原不等式成立。
故 \(e^x+x^2-(e+1)x+\dfrac{e}{x}>2\).

2. 指对放缩 plus

• \(e^x\geq x+1\to e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1\).\((x\geq0)\)
• \(e^x\geq ex\to e^x\geq ex+\dfrac{e}{2}(x-1)^2 \geq ex+(x-1)^2\).\((x\geq0)\)
• \(\ln x\leq x-1\to \ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}\).

上式相较于普通版本精度更高。

对以上放缩进行推导：

1. \(e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1\).\((x\geq0)\).
   构造函数 \(f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}-x-1\)，对函数求导 \(f'(x)=e^x-x-1\).
   容易发现 \(f'(x)\) 单调递增，当 \(x>0\) 时，\(f'(x)>0\)；当 \(x<0\) 时，\(f'(x)<0\).
   所以 \(x=0\) 时，\(f(x)_{min}=0\).
   故 \(f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}-x-1\geq 0\)，得 \(e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1\).\((x\geq0)\).
   证毕。

2. \(e^x\geq ex+\dfrac{e}{2}(x-1)^2\).
   将 \(e^{x-1}\) 用 \(e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1\) 放缩可得 \(e^{x-1}\geq \dfrac{{x-1}^2}{2}+x\)
   所以 \(e^x\geq ex+\dfrac{e}{2}(x-1)^2\).
   证毕。

3. \(e^x \geq ex+(x-1)^2\).
   由 \(2\) 显然。

4. \(\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}\).
   由 \(\ln \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{x}-1\) 可知 \(-\ln \dfrac{1}{x} \geq 1-\dfrac{1}{x}\).
   由 \(-\ln x=\ln \dfrac{1}{x}\) 可知，\(\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}\).
   证毕。

2.1 例题 1

证 \(e^x+\dfrac{1}{x}\geq 2-\ln x+x^2+(e-2)x\).

证明：由 \(e^x \geq ex+(x-1)^2\)，\(\ln x\leq x-1\)，当 \(x=1\) 时同时取等可知，\(ex+(x-1)^2+\dfrac{1}{x}\geq 2-x+1+x^2+(e-2)x\).
所以 \(\dfrac{1}{x}\geq-x+2\)，化简得 \((x-1)^2\geq0\).
故 \(e^x+\dfrac{1}{x}\geq 2-\ln x+x^2+(e-2)x\) 成立.

3. 飘带放缩

• \(\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}\).\((x\in (0,1])\).
• \(\dfrac{2(x-1)}{x+1} \leq \ln x \leq \dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x})\).\((x\in (1,+\infty])\).

对以上放缩进行证明：

1. \(\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x\).\((x\in (0,1])\).
   构造函数 \(f(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2x}-\ln x\)，对函数求导 \(f'(x)=\dfrac{1}{2x^2}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{(x-1)^2}{2x^2}\geq 0\).
   所以 \(f(x)\) 单调递增，当 \(x=1\) 时，\(f(x)=0\).
   因为 \(x\leq1\)，所以 \(f(x)\leq 0\)。故 \(\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x\).\((x\in (0,1])\).

2. \(\ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}\).\((x\in (0,1])\).
   构造函数 \(f(x)=\ln x-\dfrac{2(x-1)}{x+1}\)，对函数求导 \(f'(x)=-4(x+1)^{-2}+x^{-1}=\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}\geq 0\).
   所以 \(f(x)\) 单调递增，当 \(x=1\) 时，\(f(x)=0\).
   因为 \(x\leq1\)，所以 \(f(x)\leq 0\)。故 \(\ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}\).\((x\in (0,1])\).

所以 \(\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}\).\((x\in (0,1])\).
\(\dfrac{2(x-1)}{x+1} \leq \ln x \leq \dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x})\).\((x\in (1,+\infty])\). 同理可得。