【数学】求导

1. 导数简介#

1.1 导数的定义#

当函数 $y=f(x)$ 的自变量 $x$ 在一点 $x_0$ 上产生一个增量 $\mathrm{\Delta }x$ 时，函数输出值的增量 $\mathrm{\Delta }y$ 与自变量增量 $\mathrm{\Delta }x$ 的比值在 $\mathrm{\Delta }x$ 趋于 $0$ 时的极限 $a$ 如果存在，$a$ 即为在 $x_0$ 处的导数，记作$f^{{}^{\prime }}(x_0)$ 或 $\frac{df(x)}{dx}$。

1.2 导数的概念#

称函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的瞬时变化率 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$ 为函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数，记作 $f^{{}^{\prime }}(x_0)$ 或 $\frac{df(x)}{dx}$ 或 $y^{{}^{\prime }}{|}_{x=x_0}$，即 $f^{{}^{\prime }}(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

1.3 导数的几何意义#

函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数 $f^{{}^{\prime }}(x_0)$ 就是曲线在点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线的斜率，即 $k=f^{{}^{\prime }}(x_0)$。

2. 基本初等函数求导#

1. $f(x)=c\Rightarrow f^{{}^{\prime }}(x)=0$

证明：

$$\begin{array}{rl}{f}^{{}^{\prime }}(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{c-c}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =0\end{array}$$

2. $f(x)=x^a\Rightarrow f^{{}^{\prime }}(x)=a{x}^{a-1}$

证明：

$$\begin{array}{rl}{f}^{{}^{\prime }}(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(x_0+\mathrm{\Delta }x{)}^a-x^a}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{x^a[(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}{)}^a-1]}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{x^a[e^{a{\ln }_{(}1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}-1]}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{x^a[e^{(a\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}-1]}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{x^a\cdot a\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =a{x}^{a-1}\end{array}$$

3. $f(x)=a^x\Rightarrow f^{{}^{\prime }}(x)=a^x\ln a$

证明：

$$\begin{array}{rl}{f}^{{}^{\prime }}(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{x+\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{e^{\mathrm{\Delta }x\ln a}-1}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x\ln a}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =a^x\ln a\end{array}$$

4. $f(x)=\sin x\Rightarrow f^{{}^{\prime }}(x)=\cos x$

证明：

$$\begin{array}{rl}{f}^{{}^{\prime }}(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sin (x+\mathrm{\Delta }x)-\sin (x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{2\cos (\frac{2x+\mathrm{\Delta }x}{2})\sin (\frac{\mathrm{\Delta }x}{2})}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\cos (\frac{2x+\mathrm{\Delta }x}{2})\\ & =\cos x\end{array}$$

5. $f(x)=\cos x\Rightarrow f^{{}^{\prime }}(x)=-\sin x$

证明：

$$\begin{array}{rl}{f}^{{}^{\prime }}(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\cos (x+\mathrm{\Delta }x)-\cos (x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{-2\sin (\frac{2x+\mathrm{\Delta }x}{2})\sin (\frac{\mathrm{\Delta }x}{2})}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}-\sin (\frac{2x+\mathrm{\Delta }x}{2})\\ & =-\sin x\end{array}$$

6. $f(x)=e^x\Rightarrow f^{{}^{\prime }}(x)=e^x$

证明：

$$\begin{array}{rl}{f}^{{}^{\prime }}(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{e^{x+\mathrm{\Delta }x}-e^x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =e^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =e^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{e^{\mathrm{\Delta }x\ln e}-1}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =e^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x\ln e}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =e^x\ln e\\ & =e^x\end{array}$$

7. $f(x)={\log }_{a}x\Rightarrow f^{{}^{\prime }}(x)=\frac{1}{x\ln a}$

证明：

$$\begin{array}{rl}{f}^{{}^{\prime }}(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(x+\mathrm{\Delta }x)-{\log }_{a}x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}{\mathrm{\Delta }x\ln a}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}}{\mathrm{\Delta }x\ln a}\\ & =\frac{1}{x\ln a}\end{array}$$

8. $f(x)=\ln x\Rightarrow f^{{}^{\prime }}(x)=\frac{1}{x}$

证明：

$$\begin{array}{rl}{f}^{{}^{\prime }}(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{{\log }_e(x+\mathrm{\Delta }x)-{\log }_{e}x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{{\log }_e(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}{\mathrm{\Delta }x\ln e}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}}{\mathrm{\Delta }x\ln e}\\ & =\frac{1}{x\ln e}\\ & =\frac{1}{x}\end{array}$$

3. 导数四则运算#

1. 加/减法：$[f(x)\pm g(x){]}^{{}^{\prime }}=f^{{}^{\prime }}(x)\pm g^{{}^{\prime }}(x)$

2. 数乘：$[kf(x){]}^{{}^{\prime }}=k{f}^{{}^{\prime }}(x)$

3. 乘法：$[f(x)g(x){]}^{{}^{\prime }}=f^{{}^{\prime }}(x)g(x)+f(x)g^{{}^{\prime }}(x)$

4. 除法：$[\frac{g(x)}{f(x)}{]}^{{}^{\prime }}=\frac{[f(x)g^{{}^{\prime }}(x)-f^{{}^{\prime }}(x)g(x)]}{f(x{)}^2}$

4. 复合函数求导#

复合函数求导即为内外函数求导的乘积，即 $f^{{}^{\prime }}(g(x))=f^{{}^{\prime }}(x)g^{{}^{\prime }}(x)$。

比如，对 $g(x)=f(\ln x)$ 求导。此时 $f(\ln x)$ 分为两部分：

1. $f(t)\Rightarrow f^{{}^{\prime }}(t)$

2. $t=\ln x\Rightarrow t^{{}^{\prime }}=\frac{1}{x}$

所以 $g^{{}^{\prime }}(x)=f^{{}^{\prime }}(\ln x)=f^{{}^{\prime }}(x)\times \frac{1}{x}=\frac{f^{{}^{\prime }}(x)}{x}$。

再比如对 $f(x)=\sin 3x$ 求导。同样分为两部分：

1. $\sin t\Rightarrow (\sin t{)}^{{}^{\prime }}=\cos (t)$

2. $t=3x\Rightarrow t^{{}^{\prime }}=3$

所以 $f^{{}^{\prime }}(x)=(\sin t{)}^{{}^{\prime }}\times t^{{}^{\prime }}=3\cos (t)=3\cos (3x)$。

5. 切线方程#

5.1 点斜式#

一次函数 $y=kx+b$ 过点 $(x_0,y_0)$，则有 $y-y_0=k(x-x_0)$。证明显然。

5.2 求切线方程#

已知曲线函数与切点，可快速求出切线方程。

曲线函数为 $f(x)$，切线解析式为 $y=kx+b$，则 $y-f(x)=f^{{}^{\prime }}(x_0)(x-x_0)$ 为切线方程。

此时 $k=f^{{}^{\prime }}(x)$。