【数学】数学大礼包

Part1. 逻辑、集合、映射与计数

1.1 命题

命题：可以判断对错的叙述，形如若 \(p\) 则 \(q\)。

真值：若命题为真则为真，命题为假则为假。

逆命题：若 \(q\) 则 \(p\).

否命题：若 \(\neg p\) 则 \(\neg q\).

逆否命题：若 \(\neg q\) 则 \(\neg p\).

原命题和逆否命题真值相同，否命题和逆命题真值相同。

1.1.1 充分、必要、充要条件

命题若 \(p\) 则 \(q\)。

其中 \(p\) 为 \(q\) 的充分条件，\(q\) 为 \(p\) 的必要条件，\(p \Leftrightarrow q\) 为充要条件，即充分必要条件的合称。

条件	命题关系
\(p\) 是 \(q\) 的充分不必要条件	\(p \Rightarrow q\) 且 \(q \nRightarrow p\)
\(p\) 是 \(q\) 的必要不充分条件	\(p \nRightarrow q\) 且 \(q \Rightarrow p\)
\(p\) 是 \(q\) 的充要条件	\(p \Leftrightarrow q\)
\(p\) 是 \(q\) 的既不充分也不必要条件	\(p \nRightarrow q\) 且 \(q \nRightarrow p\)

【注意】："若 \(p\) 则 \(q\)" 不能与 "\(p \Rightarrow q\)" 混为一谈。

1.1.2 全称量词和存在量词

全称量词：意义为”所有，任意，每一个“，记为 \(\forall\).

存在量词：意义为”存在一个，至少有一个，某些“，记为 \(\exists\).

全称命题：结构为”对于 \(M\) 中任意一个 \(x\)，有 \(p(x)\) 成立“，简记为 \(\forall x \in M, p(x)\).

存在命题：结构为”存在 \(M\) 中的一个 \(x_0\)，使 \(p(x_0)\) 成立“，简记为 \(\exists x_0 \in M, p(x_0)\).

1.1.3 充分、必要条件的集合意义

若 \(p\) 以集合 \(A\) 的形式出现，若 \(q\) 以集合 \(B\) 的形式出现，即 \(A=\{x|p(x)\},B=\{x|q(x)\}\)，则充分，必要条件可叙述为：

1. 若 \(A\subseteq B\)，则 \(p\) 是 \(q\) 的充分条件；
2. 若 \(A \supseteq B\)，则 \(p\) 是 \(q\) 的必要条件；
3. 若 \(A = B\)，则 \(p\) 是 \(q\) 的充要条件；
4. 若 \(A \subsetneqq B\)，则 \(p\) 是 \(q\) 的充分不必要条件；
5. 若 \(A \supsetneqq B\)，则 \(p\) 是 \(q\) 的必要不充分条件；
6. 若 \(A \nsubseteq B\) 且 \(A \nsupseteq B\)，则 \(p\) 是 \(q\) 的既不充分也不必要条件；

1.2 集合

集合元素的三个特征：确定性，互异性，无序性。

元素与集合的关系：属于与不属于，记为 \(\in\)，\(\notin\).

集合与集合的关系：包含与不包含，记为 \(\subseteq\)，\(\nsubseteq\).

集合 \(A\) 大小表示为 \(|A|\).

通常用 \(\{\}\) 来框定集合，\(()\) 来框定 \(N\) 元组。

1.2.1 集合关系

关系	自然语言	符号语言
子集	集合 \(A\) 中所有元素都在集合 \(B\) 中，即若 \(x\in A\)，则 \(x \in B\).	\(A \subseteq B\)
真子集	集合 \(A\) 是集合 \(B\) 的子集，且集合 \(B\) 中至少有一个元素不在集合 \(A\) 中。	\(A \subsetneqq B\)
集合相等	集合 \(A\)，\(B\) 中的元素相同	\(A = B\)

1.2.2 集合的基本运算

集合的并集：\(A \cup B=\{x|x\in A \vee x\in B\}\).

集合的交集：\(A \cap B=\{x|x\in A \wedge x\in B\}\).

集合的补集：\(\complement_U A=\{x|x\in U \wedge x \notin A\}\).

三种集合运用的性质：

1. 并集的性质：\(A \cup\varnothing=A\)；\(A \cup A=A\)；\(A\cup B=B \cup A\)；\(A\cup B=A\Leftrightarrow B \subseteq A\).

2. 交集的性质：\(A \cap\varnothing=A\)；\(A \cap A=A\)；\(A\cap B=B \cap A\)；\(A\cap B=A\Leftrightarrow A \subseteq B\).

3. 补集的性质：\(A \cup(\complement_UA)=U\)；\(A \cap(\complement_UA)=\varnothing\)；\(\complement_U(\complement_UA)=A\)；\(\complement_U(A\cap B)=(\complement_UA) \cup(\complement_UB)\)；\(\complement_U(A\cup B)=(\complement_UA)\cap(\complement_UB)\).

集合的运算律

\(A \cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\).

\(A \cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).

\(\complement_U(A\cap B)=\complement_UA\cup\complement_UB\).

\(\complement_U(A\cup B)=\complement_UA\cap\complement_UB\).

1.2.3 常见的数集记法

集合	自然数集	正整数集	整数集	有理数集	实数集
符号	\(\mathbb{N}\)	\(\mathbb{N^*}\)	\(\mathbb{Z}\)	\(\mathbb{Q}\)	\(\mathbb{R}\)

【注意】\(\mathbb{N}\) 为自然数集，包含 \(0\)，\(\mathbb{N}^*\) 为正整数集，不包含 \(0\)。

1.3 映射

对于非空集合 \(A,B\)。按照某种确定的对应关系 \(f\)，使对于集合 \(A\) 中的任意一个元素 \(x\)，在集合 \(B\) 中都有唯一确定的元素 \(f(x)\) 与之对应。则对应关系 \(f:A\to B\) 为从集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的一个映射。

1. 映射的定义域，像集合

   在映射 \(f:A\to B\) 中，\(x\) 的取值范围 \(A\) 叫做映射的定义域；与 \(x\) 的值对应相等的 \(f(x)\) 值叫做 \(x\) 在映射 \(f\) 下的像，集合 \(f(A)=\{f(x)|x\in A\}\) 叫做映射的像集合。像集合 \(f(x)\) 是集合 \(B\) 的子集。

2. 若 \(f(A)=B\)，则映射 \(f\) 称为满射；若对于 \(A\) 中任意两个不同的元素 \(x_1 \not= x_2\)，均有 \(f(x_1) \not= f(x_2)\)，则映射 \(f\) 称为单射；如果映射 \(f\) 既是单射又是满射，则映射 \(f\) 称为 1-1 映射。（感性理解为二分图最大匹配后的结果即为 1-1 映射）。\(\exists f^{-1}:B\to A\)，使得 \(\forall x\in A\)，均有 \(f^{-1}(f(x))=x,\forall y=B\)，均有 \(f(f^{-1}(y))=y\).

1.4 组合数学与计数

记 \(A_n^m\) 表示从 \(n\) 个数中选出 \(m\) 个数排列的方案数。

推导：第一个位置有 \(n\) 个数可选，第二个位置有 \(n-1\) 个数可选 ，\(\dots\)，第 \(m\) 个位置有 \(n-m+1\) 个数可选。则方案数为：\(\prod\limits_{i=1}^{m}(n-i+1)\).

化简可得：

\[A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} \]

记 \(C_n^m\) 表示从 \(n\) 个数中选出 \(m\) 个数的方案数。

推导：就是将 \(A_n^m\) 的顺序忽略，即 \(\frac{A_n^m}{m!}\).

化简可得：

\[C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

1.4.1 组合计数的相关性质：

1. \(C_n^k=C_n^{n-k}\)

   证明：在杨辉三角中，以 \(\frac{n}{2}\) 为中轴呈对称态，设杨辉三角中第 \(n\) 行的元素组成的数列为 \(d_k\)，即 \(d_n=d_{n-k}\)；综上，\(C_n^k=C_n^{n-k}\)

2. \(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^n=2^n\)

   证明：在杨辉三角中，第 \(n\) 行的元素和为 \(2^n\)

3. \(C_n^0+C_n^2+C_n^4+\dots=C_n^1+C_n^3+C_n^5+\dots\)

   证明：3在杨辉三角中，以 \(\frac{n}{2}\) 为中轴呈对称态。当 \(n\) 为偶数时，左右元素一一对应（1-1映射等价）。当 \(n\) 为奇数时，左右元素可交错映射（比如 \(n=5\) 时，杨辉三角中第 \(5\) 行的元素数列为 \(1~4~6~4~1\)，等价映射为 \(f(1)=4\)，\(f(1)=4\)，\(f(6)=6\)。且无论 \(n\) 的值为多少，总是可以找到一个等价映射，使得其成立，证明略）。

4. \(C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}\)

   证明：在杨辉三角中，第 \(n\) 行 \(k\) 列元素等于第 \(n-1\) 行 \(k\) 列元素加上第 \(n-1\) 行 \(k-1\) 列元素。

5. \(C_n^k=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}\)

   证明：\(C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{k}·\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}\)

6. \(C_n^k=\frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}\)

   证明：\(C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n-k+1}{k}·\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}\)

1.4.2 容斥原理

有 \(n\) 个集合 \(A_i\)，要计算 \(|\bigcup_{i=1}^n A_i|\) 的值。

首先看一种 \(n=3\) 的特殊情况：有三个集合 \(A,B,C\)。要计算 \(|A\cup B\cup C|\)，显然：

\[|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C| \]

将此规律拓展，便得到了通解：

\[|A_1\cup A_2 \cup \dots \cup A_n|= \sum\limits_{i=1}^{n}A_i-\sum\limits_{1\le i<j \le n}|A_i\cap A_j|+\sum\limits_{1\le i<j<k \le n}|A_i\cap A_j\cap A_k|-\dots+(-1)^{n-1}|\bigcap_{i=1}^nA_i| \]

证明：考虑计算贡献，左式每个元素出现一次，右式每个元素出现：\(C_k^1-C_k^2+C_k^3-\dots+(-1)^{i-1} ·C_k^i+\dots+(-1)^{k-1}·C_k^k=1\)

1.4.3 错位排列

对于长度为 \(n\) 的排列 \(A\)，求所有 \(A_i \not= i\) 的排列个数。

设 \(D_n\) 为长度为 \(n\) 的错位排列个数。

容易得到容斥：

\[D_n=n!-C_n^1·(n-1)!+C_n^2·(n-2)!+\dots+(-1)^nC_n^n \]

化简得：

\[D_n=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i·(n-i)!=n!\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\frac{1}{i!} \]

可以发现 sigma 里面一坨很像泰勒系数，利用一些高科技手段，证得 \(D_n\approx\frac{n!}{e}\).（我不会证啊，不过结论合乎周礼）。记得四舍五入。

Part2. 数列

2.1 数列基础

2.1.1 等差数列

对于一个数列 \(a\)，\(\forall i(1\le i<n),d\in \mathbb{R}\)，满足 \(a_{i+1}-a_i=d\)，则数列 \(a\) 为等差数列。

\(a_1\) 为等差数列的首项，\(a_n\) 为等差数列的末项，\(d\) 为公差。

性质

\(a_n=a_1+(n-1)·d=dn+(a_1-d)\)

\(S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)

所以，等差数列的每一项都与第一项与公差有关。

2.1.2 等比数列

对于一个数列 \(a\)，\(\forall i(1\le i<n),q\in \mathbb{R}\) 且 \(q \not= 0\)，满足 \(\frac{a_{i+1}}{a_i}=q\)，则数列 \(a\) 为等比数列。

\(a_1\) 为等比数列的首项，\(a_n\) 为等比数列的末项，\(q\) 为公比。

性质

\(a_n=a_1·q^{n-1}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)

等比数列的每一项都与第一项与公比有关。

2.1.3 求和符号的性质

1. 重命名性质（任意更换下标字母不影响求和）；
2. 累加性质，即 \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i=\sum\limits_{i=1}^{m}a_i+\sum\limits_{i=m+1}^{n}a_i(m<n)\)
3. 线性性质，即 \(\sum a_i+b_i=\sum a_i+\sum b_i, \sum ka_i=k\sum a_i\)
4. 交换顺序性质，即 \(\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m a_{ij}=\sum\limits_{j=1}^m \sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\)

2.2 裂项

裂项的意义：在处理冗杂凌乱的分数数列时，可以考虑将其裂项之后，整理成简单的分式进行运算。

说白了就是一种工具。

例如：\(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}\)

\[\begin{aligned} &=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i+1}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\sum\limits_{i=2}^{n+1}\frac{1}{i}\\ &=1-\frac{1}{n+1} \end{aligned} \]

这样就整理成了一个一阶的分式，和 \(n\) 阶的分式相比，减去了不少计算量。

2.2.1 Abel恒等式

令 \(S_n=\sum\limits_{i=1}^na_i\)，则

\[\sum\limits_{i=1}^na_ib_i=S_nb_n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}S_i(b_i-b_{i+1}) \]

2.3 递推转通项

若递推式形如 \(a_{n+1}=a_{n}+f(n)\)，可转为通项 \(a_{n+1}=a_1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}f(i)\).

若递推式形如 \(a_{n+1}=a_{n}·f(n)\)，可转为通项 \(a_{n+1}=a_1\prod\limits_{i=1}^{n-1}f(i)\).

2.3.1 待定系数法

形式一

适用于解决形如 \(a_{n+1}=pa_n+q(p,q\in\mathbb{R})\) 形式的递推式转化。

待定系数为 \(p\) 的等比数列，即 \(a_{n+1}+x=p(a_n+x)\)，解得 \(x=\frac{q}{p-1}\)。

令 \(b_n=a_n+x\)，因为 \(b\) 是等比数列，所以 \(b_n=b_1·p^{n-1}\)

将 \(b\) 数列代回原式得 \(a_{n+1}+x=p(b_1·p^{n-1})\)

化简可得：\(a_{n+1}=(a_1+x)·p^{n}-x\)

将 \(x\) 代入上式得：\(a_{n+1}=(a_1+\frac{q}{p-1})·p^{n}-\frac{q}{p-1}\)

形式二

适用于解决形如 \(a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n(p,q\in\mathbb{R})\) 形式的递推式转化。

解除方程 \(x^2-px-q=0\) 的 \(x_1,x_2\).

若 \(x_1 \not= x_2\)，设 \(a_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n\) 待定系数解出 \(c_1,c_2\)。

若 \(x_1=x_2\)，设 \(a_n=c_1x_1^n+c_2nx_1^n\) 待定系数解出 \(c1,c2\)。

带入可得通项公式。

2.3.2 换元法

适用于解决形如 \(a_{n+1}=pa_n+f(n)(p,f(n)\in\mathbb{R})\) 形式的递推式转化。

可以待定系数为 \(p\) 的等比数列，即 \(a_{n+1}+g(x+1)=p(a_n+g(n))\)，解出 \(g(n)\) 然后按照 2.3.1 的方法解即可。

还有另外一种做法，即将等式两边同时除以 \(p^{n+1}\)，转化为 \(\frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\frac{a_{n}}{p^{n}}+\frac{f(n)}{p^{n+1}}\).

令 \(b_n=\frac{a_{n}}{p^{n}}\)，则原式为 \(b_{n+1}=b_n+\frac{f(n)}{p^{n+1}}\).

转化为：\(b_{n+1}=b_1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{f(i)}{p^{i+1}}\).

然后将 \(b\) 转化为 \(a\) 数列即可。

Part3. 数学归纳法

3.1 第一数学归纳法

对于一个命题 \(f(n),n\in \mathbb{Z}^*\)，要证明其是否成立，则可以进行如下步骤：

1. 证明 \(f(1)=1\)，即当 \(n=1\) 时，命题 \(f\) 成立；
2. 若 \(f(k)=1\)，证明 \(f(k+1)=1\)，即假设当 \(n=k\) 时，命题 \(f\) 成立；则需证明当 \(n=k+1\) 时，命题 \(f\) 成立；

当这两个条件同时满足时，则条件（命题）成立，反之不成立。

例题1

求证 \(1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2\)

证明：当 \(n=1\) 时，\(1 = 1^2\)，所以 \(f(1)=1\)；

假设 \(n=k\) 时，\(f(k)=1\)，则当 \(n=k+1\) 时，原式为 \(1+3+5+\dots+(2k-1)+[2(k+1)-1]\)

化简可得 \(1+3+5+\dots+(2k-1)+2k+1\)

将 \(1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2\) 代入上式得：

\(k^2+2k+1=(k+1)^2\)

所以当 \(n=k+1\) 时，\(f(k+1)=1\).

即命题 \(f\) 成立。

例题2

求证：\(\sum\limits_{i=1}^n\left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor · \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor\)

证明：当 \(n=1\) 时，显然成立

假设 \(n=k\) 时，\(f(k)=1\)，则当 \(n=k+1\) 时，原式为 \(\sum\limits_{i=1}^{k+1}\left \lfloor \frac{i}{2} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{k+1}{2} \right \rfloor · \left \lfloor \frac{k+2}{2} \right \rfloor\)

变形，代入得：

\[\left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor · \left \lfloor \frac{k+1}{2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{k+1}{2} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{k+1}{2} \right \rfloor ( \left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor+1)=\left \lfloor \frac{k+1}{2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{k+2}{2} \right \rfloor \]

所以当 \(n=k+1\) 时，\(f(k+1)=1\).

即命题 \(f\) 成立。

3.2 第二数学归纳法

对于一个命题 \(f(n),n\in \mathbb{Z}^*\)，要证明其是否成立，则可以进行如下步骤：

1. 证明 \(f(1)=1\)，即当 \(n=1\) 时，命题 \(f\) 成立；
2. 若 \(f(1,2,\dots,k)=1\)，证明 \(f(k+1)=1\)，即假设当 \(n=1,2,\dots,k\) 时，命题 \(f\) 成立；则需证明当 \(n=k+1\) 时，命题 \(f\) 成立；

当这两个条件同时满足时，则条件（命题）成立，反之不成立。

3.3 第三数学归纳法

对于一个命题 \(f(n),n\in \mathbb{Z}^*\)，要证明其是否成立，则可以进行如下步骤：

1. 证明 \(f(2)=1\)，即当 \(n=2\) 时，命题 \(f\) 成立；
2. 设递增数列 \(A\)，若 \(f(A_k)=1\)，证明 \(f(A_{k+1})=1\)，即当 \(n=A_{k+1}\) 时，命题 \(f\) 成立；
3. 若 \(f(k)=1\)，证明 \(f(k-1)=1\)，即假设当 \(n=k\) 时，命题 \(f\) 成立；则需证明当 \(n=k-1\) 时，命题 \(f\) 成立；

当这三个条件同时满足时，则条件（命题）成立，反之不成立。

例题3

求证：对于任意正实数 \(x_1,x_2,\dots,x_n\)，均有 \(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}\)

证明：

当 \(n=2\) 时，原式成立，即 \(f(2)=1\).

当 \(n=2^k\) 时，两两一组合并，可得 \(f(2^{k})=1\).

假设 \(n=k\) 时，\(f(k)=1\)，则有：

\[\begin{array}{} \therefore n=k-1\\ \frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}}{m-1}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}+\frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}}{m-1}}{m}\ge\sqrt[m]{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}+\frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}}{m-1}}=\left(\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}\right)^{\frac{1}{m}} \times\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}}{m-1}\right)^{\frac{1}{m}} \\ \therefore\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}}{m-1}\right)^{1}\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}\right)^{\frac{1}{m}} \times\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}}{m-1}\right)^{\frac{1}{m}} \\ \therefore\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}}{m-1}\right)^{\frac{m-1}{m}}\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}\right)^{\frac{1}{m}} \\ \therefore \frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}}{m-1}\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}\right)^{\frac{1}{m-1}} \\ \therefore \frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}}{m-1}\ge\sqrt[m-1]{\left(\sum\limits_{i=1}^{m-1} a_{i}\right)} \end{array} \]

故命题 \(f\) 成立。

Part4. 数论

4.1 整除

若 \(a\) 能整除 \(b\)，则 \(\exists n\in \mathbb{Z}\)，满足 \(an = b\)；记为 \(a | b\)

整除的性质

传递性：\(a|b,b|c\) 则 \(a|c\)；

可加减性：\(n|a,n|b\) 则 \(n|a\pm b\)

可乘性：\(a|b,c|d\) 则 \(ac|bd\)

4.2 最大公约数与最小公倍数

\(a,b\) 的最大公约数记为 \(\gcd(a,b)\)，\(\gcd(a,b)=\min\{x|(x|a)\wedge(x|b)\wedge(x>0)\}\)

\(a,b\) 的最小公倍数记为 \(\operatorname{lcm}(a,b)\)，\(\operatorname{lcm}(a,b)=\max\{x|(a|x)\wedge(b|x)\wedge(x>0)\}\)

带余除法

\(\forall a,b\in\mathbb{Z}^{+},\exists q,r\in\mathbb{Z}\)，使得：

\[\begin{cases} a=bq+r\\ 0\leq r \leq b-1 \end{cases} \]

带余除法满足存在性和唯一性，证明略。

Part5. 常用定理及函数

5.1 欧拉函数

记 \(\varphi(n)\) 表示小于 \(n\) 的正整数中与 \(n\) 互质的数的个数。

计算方法：将总数减去与 \(n\) 不互质的数的个数。将 \(n\) 质因数分解后，记 \(p_1,p_2,p_3,\dots,p_k\) 为 \(n\) 的质因子，则有：

\[\varphi(n)=n-\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n}{p_i}+\sum\limits_{1\le i<j \le n}\frac{n}{p_ip_j}-\sum\limits_{1\le i<j<k \le n}\frac{n}{p_ip_jp_k}+\dots+(-1)^{k+1}\frac{n}{p_1p_2p_3\dots p_k} \]

因数分解可得：

\[\varphi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})\dots(1-\frac{1}{p_k}) \]

计算欧拉函数的步骤中运用到了容斥原理，可见容斥原理的应用范围非常广。

欧拉函数的性质：

1. 若 \(\gcd(a,b)=1\)，则有 \(\varphi(a)·\varphi(b)=\varphi(ab)\)，即欧拉函数为积性函数。

   证明：

   设 \(A\) 为 \(a\) 的质因子集合，集合元素记为 \(p_1,p_2,p_3,\dots,p_k\)，\(B\) 为 \(b\) 的质因子集合，集合元素记为 \(P_1,P_2,P_3,\dots,P_m\)。

   \(\because\gcd(a,b)=1\)，\(\therefore A \cap B=\varnothing\).

   \(\because\varphi(a)=a(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})\dots(1-\frac{1}{p_k}),\varphi(b)=b(1-\frac{1}{P_1})(1-\frac{1}{P_2})(1-\frac{1}{P_3})\dots(1-\frac{1}{P_m})\)

   \(\therefore \varphi(ab)=ab(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})\dots(1-\frac{1}{p_k})(1-\frac{1}{P_1})(1-\frac{1}{P_2})(1-\frac{1}{P_3})\dots(1-\frac{1}{P_m})\)

   \(\therefore\varphi(a)·\varphi(b)=\varphi(ab)\)

2. 若 \(p\) 为质数，\(\varphi(p)=p-1\).

   证明：

   \(\because p\) 为质数，\(\therefore\) 小于 \(p\) 的正整数中与 \(p\) 互质的数的个数为 \(p-1\).

3. 若 \(p\) 为质数，\(\varphi(p)=p^k-p^{k-1}\).

   证明：

   \(\because p\) 为质数，\(\therefore\) 与 \(p\) 不互质的数只能为 \(p\) 的倍数，共有 \(p^{k-1}\) 个。

   \(\therefore\) \(\varphi(p)=p^k-p^{k-1}\).

5.2 卡特兰数

记 \(C_n\) 为变量为 \(n\) 的卡特兰数值。其递推式为：

\[C_n=\sum\limits_{i=1}^{n-1}C_iC_{n-i} \]

通项公式为：

\[C_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n−1}=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1} \]

卡特兰数通常可以解决一下问题（是一下问题的解）：

1. 有 \(n\) 对括号匹配的序列数，解为 \(C_n\)；
2. \(A,B\) 双方打羽毛球，从 \(0:0\) 打到 \(n:n\)，\(A\) 从来没有落后过的方案数，解为 \(C_n\)；
3. 在一个 \(n\times n\) 的网格中，从 \((0,0)\) 处开始走，每次可以向上走一格或向右走一格，在任意时刻，向右走的次数不能少于向上走的的次数，求合法路径数，解为 \(C_n\)；
4. 一个圆周上有 \(2n\) 个点，两两配对并在两点间连一条弦，要求所连的 \(n\) 条弦没有交点，求配对数，解为 \(C_n\)；
5. 将 \(n\) 边的凸多边形以不相交的对角线分成 \(n−2\) 个三角形的方案数，解为 \(C_{n-2}\)。并可以转化为问题 \(4\)；
6. \(\sum\limits_{i=1}^{2n} a_i(a_i\in\{-1,1\})=0,\forall 1\le k\le 2n,\sum\limits_{i=1}^k a_i\ge 0\) 的方案数，解为 \(C_n\)；（此问题为问题 \(2,3\) 的母题）；
   卡特兰数的应用不止这些，遇到新问题应随机应变，转化为卡特兰数解。

5.3

Part6. 博弈论

对于一个无运气成分，无平局的游戏一定有必胜策略。

必败点：走到该点，采取最优策略一定失败；

制胜点：走到该点，采取最优策略一定胜利；

必胜策略推导：

1. 只能走到只制胜点的都是必败点；
2. 可以走到必败点的都是制胜点；