【算法】树状数组

1. 算法简介#

先来看一个很现实的问题：

就拿 [luogu]P3372【模板】线段树 1 这道题为例。

按常规做法，应该是用普通线段树 + $lazytag$ 即可，但这样做代码较长，达到了 $118$ 行。

而如果用树状数组去做，只用 $63$ 行就能搞定，用时更短，代码也很好理解。

以下是数据对比：

很明显，在两者都开了 $O_2$ 的情况下，树状数组在时间、空间、代码长度上完胜线段树！！！

Q: 树状数组这么好用，为什么不直接用树状数组完全替代线段树呢？

这就又要讲到树状数组的特性：它是一颗‘前缀树’。也就是树状数组只能用于维护前缀信息，如前缀和、前缀积、前缀异或等等。想要维护区间信息，就必须要使维护的区间信息有 ‘可减性’（这里和线段树是相反的，线段树需要满足 ‘可合并性’）。在一些区间信息无 ‘可减性’ 的时候，树状数组就无法胜任。例如区间最值、区间第 $k$ 小等等，普通的树状数组就无能为力了。

Q: 学习树状数组需要哪些前置知识呢？

二进制、位运算、前缀和，差分。最好有线段树基础。

到现在，大家应该对树状数组有了一定的了解还不是很了解，那就来由我来给大家讲讲树状数组的知识吧！

2. 算法实现#

一个树状数组大概长这样（以区间和为例）

可以观察到，树状数组 $c_i$ $(1\le i\le n)$ 所管辖的范围为 $[i,i-lowbit(i)+1]$，其中 $lowbit(i)$ 表示 $i$ 在二进制下末尾 $0$ 的。

比如 ${12}_{(10)}={1100}_{(2)}$，则 $lowbit({12}_{(10)})={100}_{(2)}=4_{(10)}$.

然后进行修改和查询操作的时候，可以利用 $lowbit$ 跳跃节点。（参考例图）

比如要将 $1$ 号节点加 $k$，先将 $1$ 号节点加上 $k$；然后跳跃至 $1+lowbit(1)=2$ 号点，加上 $k$；继续跳跃至 $2+lowbit(2)=4$ 号点，加上 $k$，最后跳跃至 $4+lowbit(4)=8$ 号点，加上 $k$。

查询也是如此，只要依次跳跃至查询节点即可。

$lowbit$ 函数实现：

int lb(int x) {
  return x & -x;
}

单点修改实现：

void add(int x, int k) {
  for (int i = x; i <= n; i += lb(i)) {
    t[i] += k;
  }
}

区间查询 $[1,x]$ 实现：

int qry(int x) {
  int res = 0;
  for (int i = x; i; i -= lb(i)) {
    res += t[i];
  }
  return res;
}

2.1 单点加区间和#

P3374 【模板】树状数组 1

直接套用树状数组的单点加，区间和的操作即可。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define H 19260817
#define rint register int
#define For(i,l,r) for(rint i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(rint i=r;i>=l;--i)
#define MOD 1000003
#define mod 1000000007

using namespace std;

inline int read() {
  rint x=0,f=1;char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
  return x*f;
} 

const int N = 5e5 + 10;

int n, m, t[N];

int lb(int x) {
  return x & -x;
} 

void add(int x, int k) {
  for (int i = x; i <= n; i += lb(i)) {
    t[i] += k;
  }
}

int qry(int x) {
  int res = 0;
  for (int i = x; i; i -= lb(i)) {
    res += t[i];
  }
  return res;
}

signed main() {
  n = read(), m = read();
  For(i,1,n) add(i, read());
  while(m--) {
    int op, x, y;
    op = read(), x = read(), y = read();
    if(op == 1) add(x, y);
    else cout << qry(y) - qry(x - 1) << '\n';
  }
  return 0;
}

2.2 区间加单点和#

P3368 【模板】树状数组 2

树状数组维护差分。

每一次操作在差分序列上的 $l$ 处加，$r+1$ 处减等价在原序列的 $[l,r]$ 加。单点和即求 $[1,x]$ 的差分序列前缀和。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define H 19260817
#define rint register int
#define For(i,l,r) for(rint i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(rint i=r;i>=l;--i)
#define MOD 1000003
#define mod 1000000007

using namespace std;

inline int read() {
  rint x=0,f=1;char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
  return x*f;
} 

const int N = 5e5 + 10; 

int n, m, t[N], a[N];

int lb(int x) {
  return x & -x;
}

void add(int x, int k) {
  for (int i = x; i <= n; i += lb(i)) {
    t[i] += k;
  }
}

int qry(int x) {
  int res = 0;
  for (int i = x; i; i -= lb(i)) {
    res += t[i];
  }
  return res;
} 

signed main() {
  n = read(), m = read();
  For(i,1,n) a[i] = read();
  For(i,1,n) add(i, a[i] - a[i-1]);
  while(m--) {
    int op, x, y, k;
    op = read();
    if(op == 1) {
      x = read(), y = read(), k = read();
      add(x, k);
      add(y+1, -k);
    } else {
      x = read();
      cout << qry(x) << '\n';
    }
  }
  return 0;
}

2.3 区间加区间和#

P3372 【模板】线段树 1

维护差分序列 $d_i$，则修改操作为单点，查询操作为查询 $\sum _{i=l}^r\sum _{j=1}^i{d}_j$。

然后拆式子 $sum(x)=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^i{d}_j=\sum _{i=1}^x(x-i+1)d_i=x\sum _{i=1}^x{d}_i+\sum _{i=1}^x{d}_i\times (i+1)$

开两个树状数组分别维护 $\sum _{i=1}^x{d}_i$，$\sum _{i=1}^x{d}_i\times (i+1)$ 即可。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define FOR(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, m, a[N], t1[N], t2[N];

int lb(int x) {
  return x & -x;
}

void add(int x, int k) {
  for (int i = x; i <= n; i += lb(i)) {
    t1[i] += k;
    t2[i] += k * (x - 1);
  }
}

int qry(bool f, int x) {
  int ans = 0;
  for (int i = x; i; i -= lb(i)) {
    ans += (!f ? t1[i] : t2[i]);
  }
  return ans;
}

signed main() {
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n >> m;
  For(i,1,n) {
    cin >> a[i];
    add(i, a[i] - a[i-1]);
  }
  while(m--) {
    int op, x, y, k;
    cin >> op >> x >> y;
    if(op == 1) {
      cin >> k;
      add(x, k);
      add(y+1, -k);
    } else {
      cout << (y * qry(0, y) - qry(1, y)) - (((x-1) * qry(0, x-1)) - qry(1, x-1)) << '\n';
    }
  }
  return 0;
}