【NOI 2018】归程（Kruskal重构树）
题面在这里就不放了。
同步赛在做这个题的时候，心里有点纠结，很容易想到离线的做法，将边和询问一起按水位线排序，模拟水位下降，维护当前的各个联通块中距离$1$最近的距离，每次遇到询问时输出所在联通块的信息。
离线的思路对满分做法有一定的启发性，很容易想到将并查集持久化一下就能支持在线了。
但是这个是两个$log$的，有卡常的风险也不是很方便写。
当时思考了一下就快速写完离线做法就去做其他题了。
对于这道题，有一个更好的做法：Kruskal重构树。
事实上如果你了解这个东西，那你就能很快的给出解，那仅此以这道题作为学习Kruskal重构树的例子。
先给出一个经典的模型：
- 给定一张无向图，每次询问两点之间所有简单路径中最大边权的最小值。
一个常规的做法就是建出最小生成树，答案就是树上路径的最大边权，正确性显然。
当然也可以用我们要讲的Kruskal重构树来解决，算法虽不同，思想类似。
Kruskal中我们连接两个联通块（子树）时直接用一条边将对应的两个点相连，但在Kruskal重构树中，我们先建一个虚点作为两个子树的树上父亲，让两个联通块分别与该点相连，注意的是要维护并查集合并时的有序性。
我们称新建的虚点为方点，代表了原图中的一条边，原图中的点为圆点，则该树有一些优雅的性质：
- 这是一颗二叉树，并且相当于一个堆，因为边是有顺序合并的。
- 最小生成树上路径的边权信息转化成了点权信息。
那么回顾刚刚的那个模型，每个询问就相当于回答Kruskal重构树上两点$lca$的权值。
最后在回来看这道题，就显得十分轻松了。
我们把每条边按照水位线从高到低依次插入，可以发现每次规定一个水位下限，车子能走的范围对应了Kruskal重构树上的一棵子树，那么每次只要倍增找到最紧的那个限制的点就可以了。
1 #include <cstdio> 2 #include <queue> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 6 typedef long long LL; 7 const int N = 600005, INF = 2e9 + 7, LOG = 21; 8 9 int tc, n, m, Qi, k, s; 10 int dis[N], flg[N], val[N], mdi[N], gr[LOG][N]; 11 std::priority_queue<std::pair<int, int> > Q; 12 13 inline void Read(int &x) { 14 x = 0; static char c; 15 for (c = getchar(); c < '0' || c > '9'; c = getchar()); 16 for (; c >= '0' && c <= '9'; x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar()); 17 } 18 19 struct Edge { 20 int u, v, a; 21 inline friend bool operator < (Edge a, Edge b) { 22 return a.a > b.a; 23 } 24 } e[N]; 25 26 int yun, las[N], to[N << 1], pre[N << 1], wi[N << 1]; 27 inline void Add(int a, int b, int c = 0) { 28 to[++yun] = b; wi[yun] = c; pre[yun] = las[a]; las[a] = yun; 29 } 30 void Gragh_clear() { 31 memset(gr, 0, sizeof gr); 32 memset(las, 0, sizeof las); 33 yun = 0; 34 } 35 36 namespace DSU { 37 int fa[N]; 38 void Init() { 39 for (int i = 1; i <= n + m; ++i) { 40 fa[i] = i; 41 if (i <= n) mdi[i] = dis[i], val[i] = -1; 42 } 43 } 44 int Seek(int x) { 45 return (x == fa[x])? (x) : (fa[x] = Seek(fa[x])); 46 } 47 void Merge(int x, int y) { 48 fa[Seek(y)] = x; 49 } 50 } 51 52 void Dij() { 53 for (int i = 1; i <= n; ++i) { 54 dis[i] = INF; flg[i] = 0; 55 } 56 dis[1] = 0; 57 Q.push(std::make_pair(0, 1)); 58 for (; !Q.empty(); ) { 59 int x = Q.top().second; Q.pop(); 60 if (flg[x]) continue; 61 flg[x] = 1; 62 for (int i = las[x]; i; i = pre[i]) { 63 if (dis[to[i]] > dis[x] + wi[i]) { 64 dis[to[i]] = dis[x] + wi[i]; 65 Q.push(std::make_pair(-dis[to[i]], to[i])); 66 } 67 } 68 } 69 } 70 71 int main() { 72 freopen("return.in", "r", stdin); 73 freopen("return.out", "w", stdout); 74 75 scanf("%d", &tc); 76 for (; tc; --tc) { 77 scanf("%d%d", &n, &m); 78 Gragh_clear(); 79 for (int i = 1, x, y, a, l; i <= m; ++i) { 80 //scanf("%d%d%d%d", &x, &y, &l, &a); 81 Read(x); Read(y); Read(l); Read(a); 82 Add(x, y, l); Add(y, x, l); 83 e[i] = (Edge) { x, y, a }; 84 } 85 Dij(); DSU::Init(); 86 87 std::sort(e + 1, e + 1 + m); 88 for (int i = 1; i <= m; ++i) { 89 int x = DSU::Seek(e[i].u), y = DSU::Seek(e[i].v); 90 if (x == y) continue; 91 val[i + n] = e[i].a; 92 mdi[i + n] = std::min(mdi[x], mdi[y]); 93 DSU::Merge(i + n, x); DSU::Merge(i + n, y); 94 gr[0][x] = gr[0][y] = i + n; 95 } 96 97 for (int i = 1; i < LOG; ++i) { 98 for (int j = 1; j <= n + m; ++j) { 99 if (gr[i - 1][j]) gr[i][j] = gr[i - 1][gr[i - 1][j]]; 100 } 101 } 102 103 scanf("%d%d%d", &Qi, &k, &s); 104 for (int x, a, lans = 0; Qi; --Qi) { 105 //scanf("%d%d", &x, &a); 106 Read(x); Read(a); 107 x = (x + (LL) k * lans - 1) % n + 1; 108 a = (a + (LL) k * lans) % (s + 1); 109 for (int i = LOG - 1; ~i; --i) { 110 if (gr[i][x] && val[gr[i][x]] > a) x = gr[i][x]; 111 } 112 printf("%d\n", mdi[x]); 113 lans = mdi[x]; 114 } 115 } 116 117 return 0; 118 }
$\bigodot$技巧＆套路：
- kruskal重构树的构建，最小生成树上最值问题的再探。
