Educational Codeforces Round 134 (Div.2) D 题解

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D. Maximum AND

题目大意

给定两组序列 $a$ $b$,长度为 $n$ ，现有一新序列 $c$，长度也为 $n$ 。
其中，$c_i=a_i\oplus b_i$ 。
定义 $f(a,b)=c_1\mathrm{\&}{c}_2\mathrm{\&}\dots \dots \mathrm{\&}{c}_n$。
现在你可以随意编排 $b$ 序列的顺序，求 $f(a,b)$ 的最大值。

思路

以下位运算均是二进制。

由于按位与的运算结果是越来越小的，考虑从高位往低位贪心。
将结果的其中一位定为1之后，有一些序列 $b$ 中的元素的位置就被定下来了。
所以我们要从高位往低位贪心，有一位可以置为1，就把它置为1.

具体做法：暴力枚举，时间复杂度$O(nlognlogA)$，其中 $A$ 是输入序列的最大值。

void solve() {

	cin >> n;

	a = vector<int> (n);
	b = vector<int> (n);

	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> a[i];
	}

	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> b[i];
	}
	
	auto check = [&](int ans){
		//ans是一个2的整次幂
		map<int,int> cnt;
		//下面两个for是 判断该位上、a序列的1和b序列的0的个数是否相等。
		for(auto x:a) cnt[x & ans] += 1;
		for(auto x:b) cnt[~x & ans] -= 1;
		bool ok = true;
		//如果有1，证明不等，ok置为false
		for(auto [u,v] : cnt){
			ok &= v == 0;
		}
		return ok;
	};
	
	int ans = 0;
	for(int j = 30; j >= 0; --j){
		//从高位向低位检查。
		//写博客的时候的思考：如何把之前的已经确定了的1保存下来
		//答：其实就保存在ans中。
		if(check(ans | (1ll << j))){
			ans |= 1 << j;
		}
	}

	cout << ans << '\n';
}