一道题

已知 $◻ACBE$ 中，$AB=AC$，圆 $O$ 的半径 $r={\displaystyle \frac{5}{2}}$，$BC=4$。

作 $OH\perp BC$，根据垂径定理可得，$BH=CH=2$。

$\therefore OH=\sqrt{{OB}^2-{BH}^2}={\displaystyle \frac{3}{2}}$，$AH=AO+OH={\displaystyle \frac{5}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}=4$，$AC=AB=\sqrt{{BH}^2+{AH}^2}=2\sqrt{5}$

$\because A,F,B,C$ 四点共圆，$\therefore \mathrm{\angle }AFB+\mathrm{\angle }ACB={180}^{\circ }$

$\therefore \mathrm{\angle }AFE=\mathrm{\angle }ACB$

又 $\because \mathrm{\angle }AEF=\mathrm{\angle }ACB$，$\therefore \mathrm{\angle }AEF=\mathrm{\angle }AFE=\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ACB$。

$\therefore \mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}AEF$。

$\therefore {\displaystyle \frac{AB}{AE}}={\displaystyle \frac{BC}{EF}}$。

$\therefore EF={\displaystyle \frac{AE}{AB}}\times BC={\displaystyle \frac{4}{2\sqrt{5}}}\times 4={\displaystyle \frac{8}{5}}\sqrt{5},BF=BE-EF={\displaystyle \frac{2}{5}}\sqrt{5}$