【BZOJ-4408】神秘数 可持久化线段树

4408: [Fjoi 2016]神秘数

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Description

一个可重复数字集合S的神秘数定义为最小的不能被S的子集的和表示的正整数。例如S={1,1,1,4,13},

1 = 1

2 = 1+1

3 = 1+1+1

4 = 4

5 = 4+1

6 = 4+1+1

7 = 4+1+1+1

8无法表示为集合S的子集的和,故集合S的神秘数为8。

现给定n个正整数a[1]..a[n],m个询问,每次询问给定一个区间[l,r](l<=r),求由a[l],a[l+1],…,a[r]所构成的可重复数字集合的神秘数。

Input

第一行一个整数n,表示数字个数。
第二行n个整数,从1编号。
第三行一个整数m,表示询问个数。
以下m行,每行一对整数l,r,表示一个询问。

Output

对于每个询问,输出一行对应的答案。

Sample Input

5
1 2 4 9 10
5
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5

Sample Output

2
4
8
8
8

HINT

对于100%的数据点,n,m <= 100000,∑a[i] <= 10^9

Source

鸣谢yyh上传

Solution

这道题挺好的思路。

首先考虑在集合中已经选出$k$个数的时候,再加入第$k+1$个数的情况。

显然有当$a_{k+1}>\sum ^{k}_{i=1} a_{k} +1$时,$ans=\sum ^{k}_{i=1} a_{k}+1$

否则显然这个这些数能组合出的范围扩大$a_{k+1}$

所以思路就是对于一个$ans$,求出$\sum ^{R}_{i=L} (a_{i}<ans) a_{i}$,如果这些数能组合到$ans$,那么这个$ans$只能扩大,所以把$ans$扩大到$\sum ^{R}_{i=L} (a_{i}<ans) a_{i} +1$继续做,否则得到神秘数。

所以支持这样做的还是利用可持久化线段树求出。

但是这样的复杂度还是比较暴力的,不过题目中说了$\sum a_{i}<10^{9}$所以复杂度最坏是 $O(MlogNlog10^{9})$

话说这题被xyx秒了....

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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22
23
24
25
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28
29
30
31
32
33
34
35
36
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38
39
40
41
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43
44
45
46
47
48
49
50
51
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53
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56
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58
59
60
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62
63
64
65
66
67
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXN 100010
 
int N,M,a[MAXN];
 
namespace PrTree{
    int root[MAXN],sum[MAXN*20],lson[MAXN*20],rson[MAXN*20],sz;
    inline void Insert(int l,int r,int &x,int last,int pos,int val)
    {
        x=++sz;
        lson[x]=lson[last],rson[x]=rson[last];
        sum[x]=sum[last]+val;
        if (l==r) return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if (pos<=mid) Insert(l,mid,lson[x],lson[last],pos,val);
            else Insert(mid+1,r,rson[x],rson[last],pos,val);
    }
    inline int Query(int l,int r,int L,int R,int x,int y)
    {
        if (L>R) return 0;
        if (L<=l && R>=r) return sum[y]-sum[x];
        int mid=(l+r)>>1,re=0;
        if (L<=mid) re+=Query(l,mid,L,R,lson[x],lson[y]);
        if (R>mid) re+=Query(mid+1,r,L,R,rson[x],rson[y]);
        return re; 
    }
}using namespace PrTree;
 
int ls[MAXN];
 
int main()
{
    N=read();
    for (int i=1; i<=N; i++) ls[i]=a[i]=read();
     
    sort(ls+1,ls+N+1); int tot=unique(ls+1,ls+N+1)-ls-1;
     
    for (int i=1; i<=N; i++) a[i]=lower_bound(ls+1,ls+tot+1,a[i])-ls;
     
    for (int i=1; i<=N; i++) PrTree::Insert(1,tot,root[i],root[i-1],a[i],ls[a[i]]);
     
    M=read();
    while (M--) {
        int l=read(),r=read();
        int ans=1,up,pos;
        while (1) {
            pos=upper_bound(ls+1,ls+tot+1,ans)-ls-1;
            if (ans<=(up=PrTree::Query(1,tot,1,pos,root[l-1],root[r])))
                ans=up+1;
            else break;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

  

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