【BZOJ-2653】middle 可持久化线段树 + 二分

2653: middle

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Description

　　一个长度为n的序列a，设其排过序之后为b，其中位数定义为b[n/2]，其中a,b从0开始标号,除法取下整。
　　给你一个长度为n的序列s。
　　回答Q个这样的询问：s的左端点在[a,b]之间,右端点在[c,d]之间的子序列中，最大的中位数。
　　其中a<b<c<d。
　　位置也从0开始标号。
　　我会使用一些方式强制你在线。

Input

　　第一行序列长度n。
　　接下来n行按顺序给出a中的数。
　　接下来一行Q。
　　然后Q行每行a,b,c,d，我们令上个询问的答案是x(如果这是第一个询问则x=0)。
　　令数组q={(a+x)%n,(b+x)%n,(c+x)%n,(d+x)%n}。
　　将q从小到大排序之后，令真正的要询问的a=q[0],b=q[1],c=q[2],d=q[3]。
　　输入保证满足条件。

Output

　　Q行依次给出询问的答案。

Sample Input

5
170337785
271451044
22430280
969056313
206452321
3
3 1 0 2
2 3 1 4
3 1 4 0

Sample Output

271451044
271451044
969056313

HINT

0:n,Q<=100
1,...,5:n<=2000
0,...,19:n<=20000,Q<=25000

Source

Solution

这道题思路相当妙啊

自己一开始看错题了，以为就是求中位数，那么显然长度为奇数时就是中间那个，长度为偶数时可能是实数，根本没法搞...

然后有一种想法很显然，就是可以通过先求出$[b,c]$段的中位数，然后贪心的从$b$到$a$，从$c$到$d$扩展这个序列，然后搞。

可是这样本质上就是暴力，所以显然不行。

以前遇到的中位数有一种很常规的搞法，就是假设中位数为$x$，那么把$<x$的赋值$-1$,把$>=x$的赋值$+1$，然后看看是否有连续的一段$Sum>=0$

这种方法显然是具有单调性的，所以又可以把枚举$x$的复杂度降到$O(logN)$

然后可以用线段树去维护连续的子段和，再维护一下左右端点，保证左右端点分别在$[a,b]$和$[c,d]$之间即可，但是这样的线段树每次需要重建，所以复杂度还是偏大。

可以考虑利用可持久化线段树，对于假定的中位数$x$，所有比他小的数为$-1$，而比他大的仍为$1$，这样就可以先建出一棵全$1$的树，然后每次再建一条$-1$的链，查询的时候前面的用$-1$，后面的用$1$，就可以达到要求了。

总复杂度$O(Qlog^{2}N)$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x;
}
#define MAXN 200010
int N,a[MAXN],Q,last;
namespace PrTree
{
    int lson[MAXN*20],rson[MAXN*20],root[MAXN],sum[MAXN*20],left[MAXN*20],right[MAXN*20],sz;
    inline void Update(int now)
    {
        sum[now]=sum[lson[now]]+sum[rson[now]];
        left[now]=max(left[lson[now]],sum[lson[now]]+left[rson[now]]);
        right[now]=max(right[rson[now]],sum[rson[now]]+right[lson[now]]);
    }
    inline void BuildTree(int l,int r,int &now)
    {
        now=++sz;
        if (l==r) {left[now]=right[now]=sum[now]=1; return;}
        int mid=(l+r)>>1;
        BuildTree(l,mid,lson[now]); BuildTree(mid+1,r,rson[now]);
        Update(now);
    }
    inline void Insert(int l,int r,int &now,int fa,int pos,int val)
    {
        now=++sz;
        if (l==r) {sum[now]=left[now]=right[now]=val; return;}
        lson[now]=lson[fa],rson[now]=rson[fa];
        int mid=(l+r)>>1;
        if (pos<=mid) Insert(l,mid,lson[now],lson[fa],pos,val);
            else Insert(mid+1,r,rson[now],rson[fa],pos,val);
        Update(now);
    }
    inline int Query(int l,int r,int L,int R,int now)
    {
        if (L>R) return 0;
        if (L<=l && R>=r) return sum[now];
        int mid=(l+r)>>1,re=0;
        if (L<=mid) re+=Query(l,mid,L,R,lson[now]);
        if (R>mid) re+=Query(mid+1,r,L,R,rson[now]);
        return re;
    }
    inline int Left(int l,int r,int L,int R,int now)
    {
        if (L>R) return 0;
        if (L==l && R==r) return left[now];
        int mid=(l+r)>>1;
        if (R<=mid) return Left(l,mid,L,R,lson[now]);
        else if (L>mid) return Left(mid+1,r,L,R,rson[now]);
        else return max(Left(l,mid,L,mid,lson[now]),Query(l,mid,L,mid,lson[now])+Left(mid+1,r,mid+1,R,rson[now])); 
    }
    inline int Right(int l,int r,int L,int R,int now)
    {
        if (L>R) return 0;
        if (L==l && R==r) return right[now];
        int mid=(l+r)>>1;
        if (R<=mid) return Right(l,mid,L,R,lson[now]);
        else if (L>mid) return Right(mid+1,r,L,R,rson[now]);
        else return max(Right(mid+1,r,mid+1,R,rson[now]),Query(mid+1,r,mid+1,R,rson[now])+Right(l,mid,L,mid,lson[now]));
    }
}using namespace PrTree;
int q[5],id[MAXN];
inline bool Check(int x)
{
    int a=q[1],b=q[2],c=q[3],d=q[4];
    return Query(1,N,b,c,root[x])+max(Right(1,N,a,b-1,root[x]),0)+max(Left(1,N,c+1,d,root[x]),0)>=0;
}
inline bool cmp(int x,int y) {return a[x]<a[y];}
int main()
{
    N=read();
    for (int i=1; i<=N; i++) a[i]=read(),id[i]=i;
    stable_sort(id+1,id+N+1,cmp); stable_sort(a+1,a+N+1);
    BuildTree(1,N,root[1]);
    for (int i=2; i<=N; i++) PrTree::Insert(1,N,root[i],root[i-1],id[i-1],-1);
    Q=read();
    while (Q--)
        {
            for (int i=1; i<=4; i++) q[i]=(read()+last)%N+1;
            stable_sort(q+1,q+4+1);
            int l=1,r=N,mid;
            while (l<=r)
                {
                    mid=(l+r)>>1;
                    if (Check(mid)) l=mid+1; else r=mid-1;
                }
            printf("%d\n",last=a[l-1]);
        }
    return 0;
}