【BZOJ-3270】博物馆 高斯消元 + 概率期望

3270: 博物馆

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Description

有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。

两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）

不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。

两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。

两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。

Input

第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。

之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。

之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。

题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

Output

输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）

注意最后一个数字后面也有一个空格

Sample Input

2 1 1 2
1 2
0.5
0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

HINT

对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

Source

高斯消元

Solution

这个题想了一会，转化后会好想很多。

首先直接列方程组显然什么都解不出来，所以转化一下，令二元组$(x,y)$表示第一个人在$x$位置，第二个人在$y$位置的概率；

上述状态当做dp来做转移很显然$$dp[x][y]=p[x][y]*dp[x][y]+\frac {1-p[fx]}{d[fx]}*p[y]*dp[fx][y]+\frac {1-p[fy]}{d[fy]}*p[x]*dp[x][fy]+\frac {1-p[fx]}{d[fx]}*\frac {1-p[fy]}{d[fy]}*dp[fx][fy] \quad \quad \quad (f[A][B]=1)$$

把所有这样的状态设成未知数$X_{i}$，然后列方程，高斯消元得解。

列方程的复杂度$O(N^{4})$，解方程的复杂度是$O((N^{2})^{3})$的，总的复杂度是$O(N^{6})$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXN 500 
#define eps 1e-5
int N,M,A,B,id[MAXN][MAXN],ID,mp[MAXN][MAXN],d[MAXN],flag;
double a[MAXN][MAXN],X[MAXN],p[MAXN];
inline void Debug()
{
    puts("=========");
    for (int i=1; i<=ID; i++,puts(""))
        for (int j=1; j<=ID+1; j++) printf("%.2lf ",a[i][j]);
    puts("");
}
inline void Gauss()
{
    flag=1;
    for (int i=1; i<=ID; i++)
        {
            int mx=i;
            for (int j=i+1; j<=ID; j++)
                if (abs(a[j][i])>abs(a[mx][i])) mx=j;
            swap(a[i],a[mx]);
            if (abs(a[i][i])<eps) {flag=-1; continue;}
            for (int j=i+1; j<=ID+1; j++) if (abs(a[i][j])>0) a[i][j]/=a[i][i];
            a[i][i]=1;
                    
            for (int j=i+1; j<=ID; j++)
                {
                    for (int k=i+1; k<=ID+1; k++) 
                        a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
                    a[j][i]=0;
                }
            //Debug();
        }
    for (int i=1,f=1; i<=ID; i++,f=1)
        {
            for (int j=1; j<=ID && f; j++)
                if (abs(a[i][j])>eps) f=0;
            if (abs(a[i][M+1])>eps && f) flag=0;
        }
    if (flag==0) return;
    for (int i=ID; i>=1; i--)
        {
            X[i]=a[i][ID+1];
            for (int j=i+1; j<=ID; j++) X[i]-=X[j]*a[i][j];
        }
}
int main()
{
    N=read(),M=read(),A=read(),B=read();
    for (int i=1,x,y; i<=M; i++) x=read(),y=read(),mp[x][y]=mp[y][x]=1,d[x]++,d[y]++;
    for (int i=1; i<=N; i++) mp[i][i]=1;
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=N; j++) id[i][j]=++ID;
    for (int i=1; i<=N; i++) scanf("%lf",&p[i]);
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=N; j++)
            {
                a[id[i][j]][id[i][j]]=-1.0;
                for (int fi=1; fi<=N; fi++)
                    for (int fj=1; fj<=N; fj++)
                        if (fi!=fj)
                            {
                                int x=id[i][j],y=id[fi][fj];
                                if (mp[fi][i] && mp[fj][j])
                                    {
                                        if (fi==i && fj==j) a[x][y]+=p[fi]*p[fj];
                                        if (fi!=i && fj==j) a[x][y]+=((1.0-p[fi])/d[fi]) * (p[fj]);
                                        if (fi==i && fj!=j) a[x][y]+=((1.0-p[fj])/d[fj]) * (p[fi]);
                                        if (fi!=i && fj!=j) a[x][y]+=((1.0-p[fi])/d[fi]) * ((1.0-p[fj])/d[fj]);
                                    }
                            }
            }
    a[id[A][B]][ID+1]=-1.0;
//    Debug();
    Gauss();
//    Debug();
    for (int i=1; i<=N; i++) printf("%.6lf ",X[id[i][i]]);
    return 0;
}