【BZOJ-1127】KUP 悬线法 + 贪心

1127: [POI2008]KUP

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Description

给一个n*n的地图，每个格子有一个价格，找一个矩形区域，使其价格总和位于[k,2k]

Input

输入k n（n<2000)和一个n*n的地图

Output

输出矩形的左上和右下的列-行坐标或NIE

Sample Input

inputdata1
4 3
1 1 1
1 9 1
1 1 1
inputdata2
8 4
1 2 1 3
25 1 2 1
4 20 3 3
3 30 12 2

Sample Output

outputdata1
NIE
outputdata2
2 1 4 2

HINT

1<=k<=10^9 每个价格都是不大于2*10^9的非负整数

Source

感谢vfleaking提供SPJ

Solution

这个题需要思路....

首先假设有一个一维的区间$[l,r]$，那么假设这个区间中满足$\forall x,x<K$，那么且这个区间的和$>=K$，那么答案肯定存在在这个区间中。

 

证明：

因为这个区间中满足$\forall x,x<K$，所以区间和每加上一个数，区间和的变化量一定是$<K$的;

所以，并不会存在一个数使得一个子区间（连续的）和加上他得到的新区间和直接从$(-\infty,K]$跳过$[K,2*K]$变成$[2*K,+\infty)$.

所以，只要从这个一维的区间的左/右端开始一一删除，就可以得到满足条件的区间。

 

但是这里的$N*N$的矩阵，所以要利用这个结论就必须扩展到多维区间块上面，但是这个结论是可以拓展的。

这样就是一个子矩阵满足$\forall x,x<K$，且子矩阵和$>=K$，那么这个子矩阵中存在答案。

证明类比上面的证明，这里分类讨论一下，可以利用上面的方法，先一行一行的删除，删成满足条件的，或者只剩一行，转成上述，再一个一个删.

然后就是找出这些需要搞得子矩形的方法了,把$x>2*K$的点认为是障碍，做一遍悬线法，就可以得到所有的极大子矩形，然后一一判断。

当然一开始读入的时候，如果存在一个$1*1$的位置$x$直接满足$x \in [K,2*K]$那么可以直接输出。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
int K,N,l[2010][2010],r[2010][2010],h[2010][2010];
LL sum[2010][2010],a[2010][2010];
inline LL Sum(int x1,int y1,int x2,int y2) {return sum[x2][y2]+sum[x1-1][y1-1]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2];}
inline void Cut(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    while (Sum(x1,y1,x2,y2)>2*K)
        {
            if (x1==x2) {y2--; continue;}
            if (Sum(x1,y1,x2-1,y2)>=K) {x2--; continue;}
            if (Sum(x1+1,y1,x2,y2)>=K) {x1++; continue;}
        }
    printf("%d %d %d %d\n",y1,x1,y2,x2);
    exit(0);
}
int main()
{
    K=read(),N=read();
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=N; j++)
            a[i][j]=read(),sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=N; j++)
            if (a[i][j]>=K && a[i][j]<=2*K) {printf("%d %d %d %d\n",j,i,j,i); return 0;}
    for (int i=1; i<=N; i++)
        {
            for (int j=1,x=0; j<=N; j++)
                if (a[i][j]<=2*K) l[i][j]=x; else l[i][j]=0,x=j;
            for (int j=N,x=N+1; j>=1; j--)
                if (a[i][j]<=2*K) r[i][j]=x; else r[i][j]=N+1,x=j;
        }
    for (int i=1; i<=N+1; i++) r[0][i]=N+1;
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=N; j++)
            if (a[i][j]<=2*K)
                h[i][j]=h[i-1][j]+1,
                l[i][j]=max(l[i][j]+1,l[i-1][j]),
                r[i][j]=min(r[i][j]-1,r[i-1][j]);
    
//    puts("==========================");               
//    for (int i=1; i<=N; i++,puts(""))
//        for (int j=1; j<=N; j++)
//            printf("%d  ",h[i][j]);
//    puts("==========================");
//    for (int i=1; i<=N; i++,puts(""))
//        for (int j=1; j<=N; j++)
//            printf("%d  ",l[i][j]);
//    puts("==========================");
//    for (int i=1; i<=N; i++,puts(""))
//        for (int j=1; j<=N; j++)
//            printf("%d  ",r[i][j]);
//    puts("==========================");
    
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=N; j++)
            if (a[i][j]<=2*K){
//                printf("%d    %d    %d    %d\n",i-h[i][j]+1,l[i][j],i,r[i][j]);
                if (Sum(i-h[i][j]+1,l[i][j],i,r[i][j])>=K) Cut(i-h[i][j]+1,l[i][j],i,r[i][j]);
            }
    puts("NIE");
    return 0;
}
/*
2 3
3  25 7
6  1  2
16 11 20
*/