【BZOJ-4456】旅行者 分治 + 最短路

4456: [Zjoi2016]旅行者

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Description

小Y来到了一个新的城市旅行。她发现了这个城市的布局是网格状的，也就是有n条从东到西的道路和m条从南到北的道路，这些道路两两相交形成n×m个路口 (i,j)(1≤i≤n,1≤j≤m)。她发现不同的道路路况不同，所以通过不同的路口需要不同的时间。通过调查发现，从路口(i,j)到路口(i,j+1)需要时间 r(i,j)，从路口(i,j)到路口(i+1,j)需要时间c(i,j)。注意这里的道路是双向的。小Y有q个询问，她想知道从路口(x1,y1)到路口(x2,y2)最少需要花多少时间。

Input

第一行包含 2 个正整数n,m，表示城市的大小。

接下来n行，每行包含m?1个整数，第i行第j个正整数表示从一个路口到另一个路口的时间r(i,j)。

接下来n?1行，每行包含m个整数，第i行第j个正整数表示从一个路口到另一个路口的时间c(i,j)。

接下来一行，包含1个正整数q，表示小Y的询问个数。

接下来q行，每行包含4个正整数 x1,y1,x2,y2，表示两个路口的位置。

Output

输出共q行，每行包含一个整数表示从一个路口到另一个路口最少需要花的时间。

Sample Input

2 2
2
3
6 4
2
1 1 2 2
1 2 2 1

Sample Output

6
7

HINT

 题解:JudgeOnline/upload/201603/4456 sol.txt

Source

Solution

分治每次求起点和终点都在[xl,xr],[yl,yr]的答案。

考虑对这个大矩形进行分割。

把比较短的一维切成两半，并枚举切割的这条中线上的所有点，并从这些点向其余各点求最短路。然后用最短路得到的答案去更新答案。然后递归分治；

分析一下复杂度：$logN$的分治，因为每次切较短边，所以复杂度最多不超过$\sqrt{N}$，最后还有Dijskra的$NlogN$

个人感觉大概是$O(N\sqrt{N}log^{2}N)$的复杂度，但是，网上有严格的证明复杂度，是$O(N\sqrt{N}logN)$的，并不是很会，戳这里吧

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x;
}
#define MAXN 20010
int N,M,Q,tp;
vector<int>id[MAXN];
struct EdgeNode{int next,to,d;}edge[MAXN<<2];
int head[MAXN],cnt=1;
inline void AddEdge(int u,int v,int w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].d=w;}
inline void InsertEdge(int u,int v,int w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,w);}
#define Pa pair<int,int>
#define INF 0x7fffffff
priority_queue<Pa,vector<Pa>,greater<Pa> >q;
int dis[MAXN],X[MAXN],Y[MAXN];
bool visit[MAXN];
inline void Dijkstra(int S,int xl,int xr,int yl,int yr)
{
    for (int i=xl; i<=xr; i++)
        for (int j=yl; j<=yr; j++)
            dis[id[i][j]]=INF;
    q.push(make_pair(0,S)); dis[S]=0;
    while (!q.empty())
        {
            int now=q.top().second;
            int Dis=q.top().first;
            q.pop();
            if (Dis>dis[now]) continue;
            for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
                if (X[edge[i].to]<xl || X[edge[i].to]>xr || Y[edge[i].to]<yl || Y[edge[i].to]>yr) continue;
                    else
                        if (Dis + edge[i].d < dis[edge[i].to])
                            dis[edge[i].to]=Dis+edge[i].d,
                            q.push(make_pair(dis[edge[i].to],edge[i].to));
        }
//    puts("DIS");
//    for (int i=xl; i<=xr; i++)
//      for (int j=yl; j<=yr; j++)
//          printf("%d  ",dis[id[i][j]]);
//    puts("");
}
#define MAXQ 100010
int ans[MAXQ];
struct AskNode{int x0,y0,x1,y1,id,u,v;}ask[MAXQ],tmp[MAXQ];
void CDQ(int xl,int xr,int yl,int yr,int ql,int qr)
{
    if (ql>qr) return;
    bool f=0; int l,r;
    if (xr-xl<yr-yl) l=yl,r=yr,f=1; else l=xl,r=xr,f=0;
    int mid=(l+r)>>1;
//  printf("CDQ(%d,%d,%d,%d,%d,%d,%d)\n",xl,xr,yl,yr,ql,qr,mid);
    if (f)
        for (int i=xl; i<=xr; i++)
            {
                Dijkstra(id[i][mid],xl,xr,yl,yr);
                for (int j=ql; j<=qr; j++)
                    ans[ask[j].id]=min(ans[ask[j].id],dis[ask[j].u]+dis[ask[j].v]);
            }
    else
        for (int i=yl; i<=yr; i++)
            {
                Dijkstra(id[mid][i],xl,xr,yl,yr);
                for (int j=ql; j<=qr; j++)
                    ans[ask[j].id]=min(ans[ask[j].id],dis[ask[j].u]+dis[ask[j].v]);
            }
    int L=ql-1,R=qr+1;
    for (int i=ql; i<=qr; i++)
        if (f) 
            if (ask[i].y0<mid && ask[i].y1<mid) tmp[++L]=ask[i]; else if (ask[i].y0>mid && ask[i].y1>mid) tmp[--R]=ask[i]; else;
        else
            if (ask[i].x0<mid && ask[i].x1<mid) tmp[++L]=ask[i]; else if (ask[i].x0>mid && ask[i].x1>mid) tmp[--R]=ask[i]; else;
    for (int i=ql; i<=L; i++) ask[i]=tmp[i];
    for (int i=R; i<=qr; i++) ask[i]=tmp[i];
    if (f) CDQ(xl,xr,yl,mid-1,ql,L),CDQ(xl,xr,mid+1,yr,R,qr);
      else CDQ(xl,mid-1,yl,yr,ql,L),CDQ(mid+1,xr,yl,yr,R,qr);
}
int main()
{
    N=read(),M=read();
    for (int i=1; i<=N; i++) id[i].push_back(0);
    for (int i=1,ID=0; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=M; j++)
            id[i].push_back(++ID),X[ID]=i,Y[ID]=j;
    for (int i=1,len; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=M-1; j++)
            len=read(),InsertEdge(id[i][j],id[i][j+1],len);
    for (int i=1,len; i<=N-1; i++)
        for (int j=1; j<=M; j++)
            len=read(),InsertEdge(id[i][j],id[i+1][j],len);
    Q=read();
    while (Q--)
        {
            tp++; ask[tp].id=tp;
            ask[tp].x0=read(); ask[tp].y0=read(); ask[tp].u=id[ask[tp].x0][ask[tp].y0];
            ask[tp].x1=read(); ask[tp].y1=read(); ask[tp].v=id[ask[tp].x1][ask[tp].y1];
            if (ask[tp].u==ask[tp].v) ans[tp]=0; else ans[tp]=INF;
        }
    CDQ(1,N,1,M,1,tp);
    for (int i=1; i<=tp; i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

UOJ只能跑过50分，BZOJ 17sAC....

比别人慢很多，于是试了试spfa，然后...UOJ40，BZOJ TLE

BZOJ  Dijsktra与spfa的对比：