【BZOJ-4386】Wycieczki DP + 矩阵乘法

4386: [POI2015]Wycieczki

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Description

给定一张n个点m条边的带权有向图，每条边的边权只可能是1，2，3中的一种。
将所有可能的路径按路径长度排序，请输出第k小的路径的长度，注意路径不一定是简单路径，即可以重复走同一个点。

Input

第一行包含三个整数n,m,k(1<=n<=40，1<=m<=1000，1<=k<=10^18)。
接下来m行，每行三个整数u,v,c(1<=u,v<=n，u不等于v，1<=c<=3)，表示从u出发有一条到v的单向边，边长为c。
可能有重边。

Output

包含一行一个正整数，即第k短的路径的长度，如果不存在，输出-1。

Sample Input

6 6 11
1 2 1
2 3 2
3 4 2
4 5 1
5 3 1
4 6 3

Sample Output

4

HINT

长度为1的路径有1->2，5->3，4->5。
长度为2的路径有2->3，3->4，4->5->3。
长度为3的路径有4->6，1->2->3，3->4->5，5->3->4。
长度为4的路径有5->3->4->5。

Source

鸣谢Claris

Solution

边权只有1，2，3三种，可以考虑拆点，那么只有边权为1的边了

那么显然可以DP，但是时间复杂度不允许

考虑用矩阵乘法去转移

这里比较优秀的方法是基于倍增的矩阵乘法

总复杂度是$O(n^{3}logK)$

答案会很大，乘爆longlong需要特判

这题细节非常多！

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
inline long long read()
{
    long long x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXN 130
int id[MAXN][4],ID,N,M,B;
long long K,V[MAXN*3];
struct MatrixNode{long long a[MAXN][MAXN];}a[100],b,c,tmp;
MatrixNode operator * (const MatrixNode &A,const MatrixNode &B)
{
    MatrixNode C; memset(C.a,0,sizeof(C.a));
        for (int i=0; i<=ID; i++)
            for (int j=0; j<=ID; j++)
                for (int k=0; k<=ID; k++)
                    if (A.a[i][k]&&B.a[k][j])
                        {
                            if (A.a[i][k]<0 || B.a[k][j]<0)  {C.a[i][j]=-1; break;}
                            if (A.a[i][k]>K/B.a[k][j]) {C.a[i][j]=-1; break;}
                            C.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j];
                            if (C.a[i][j]>K) {C.a[i][j]=-1; break;}
                        }    
    return C;        
}
bool Check()
{
    long long re=0;
    for (int i=0; i<=ID; i++)
        if (tmp.a[0][i] && V[i])
            {
                if (tmp.a[0][i]<0) return 0;
                if (tmp.a[0][i]>K/V[i]) return 0;
                re+=tmp.a[0][i]*V[i];
                if (re>K) return 0;
            }
    return re<K;
}
int main()
{
    N=read(),M=read(),K=read();
    for (int i=1; i<=N; i++) for (int j=0; j<=2; j++) id[i][j]=++ID;
    for (int i=1; i<=N; i++)
        {
            for (int j=0; j<=1; j++)
                a[0].a[id[i][j]][id[i][j+1]]++;
            a[0].a[0][id[i][0]]++;
        }
    a[0].a[0][0]++;
    for (int x,y,z,i=1; i<=M; i++) x=read(),y=read(),z=read(),a[0].a[id[y][z-1]][id[x][0]]++,V[id[y][z-1]]++;
    for (int i=0; (1LL<<i)<=K*3; B=++i); B--;
    for (int i=1; i<=B; i++) a[i]=a[i-1]*a[i-1];
    long long ans=0;
    for (int i=0; i<=ID; i++) c.a[i][i]=1;
    for (int i=B; ~i; i--)
        {
            tmp=c*a[i];
            if (Check()) ans|=(1LL<<i),memcpy(c.a,tmp.a,sizeof(tmp.a));
        }
    ans++;
    if (ans>K*3) {puts("-1"); return 0;}
        else printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

模拟赛的时候，没认真读题，以为是“魔法猪学院”类似的...等到半场才发现.....然后GG