【BZOJ-4289】Tax 最短路 + 技巧建图

4289: PA2012 Tax

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Description

给出一个N个点M条边的无向图，经过一个点的代价是进入和离开这个点的两条边的边权的较大值，求从起点1到点N的最小代价。起点的代价是离开起点的边的边权，终点的代价是进入终点的边的边权

N<=100000

M<=200000

Input

Output

Sample Input

4 5
1 2 5
1 3 2
2 3 1
2 4 4
3 4 8

Sample Output

12

HINT

Source

Solution

比较有技巧的建图

首先考虑暴力点的建图：

把每条无向边拆成两条有向边.把每条边看成一个点,对于两条边a->b,b->c

在这两条边之间连有向边,边权为这两条边的权值的较大值.

新建源点S,汇点T, S向所有从1连出去的边连边,所有指向n的边向T连边. 求S->T的最短路即可.

这样的复杂度会达到$O(m^{2})$

考虑优化一下，有个类似网络流中补流思想的方法：

考虑利用差值来建边.

依然把每条边x-y拆成x->y,y->x.

枚举每个中转点x. 将x的出边按权值排序,x的每条入边向对应的出边连该边权值的边,x的每条出边向第一个比它大的出边连两边权差值的边,x的每条出边向第一个比它小的出边连权值为0的边. 新建源汇S,T S向每条1的出边连权值为该边边权的边.每条n的入边向T连该边权值的边.

跑S->T的最短路即可.

这样的复杂度是$O(mlogm)$就可以AC

顺带提一句，用Dijkstra效率很快

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
void Freopen() {freopen("travel.in","r",stdin); freopen("travel.out","w",stdout);}
#define Pa pair<long long,int>
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXN 200010
#define INF 1LL<<60
int N,M;
struct EdgeNode{int next,to,val;}edge[MAXN<<1],road[MAXN<<3];
int head[MAXN],cnt=1,first[MAXN<<1],tot=1;
inline void AddEdge(int u,int v,int w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].val=w;}
inline void InsertEdge(int u,int v,int w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,w);}
inline void AddRoad(int u,int v,int w) {tot++; road[tot].next=first[u]; first[u]=tot; road[tot].to=v; road[tot].val=w;}
inline bool cmp(int x,int y) {return edge[x].val<edge[y].val;}
priority_queue<Pa,vector<Pa>,greater<Pa> >q;
int S,T;
long long dis[MAXN<<1];
void Dijkstra()
{
    for (int i=S; i<=T; i++) dis[i]=INF;
    q.push(make_pair(0,S)); dis[S]=0;
    while (!q.empty())
        {
            int now=q.top().second;
            long long Dis=q.top().first; 
            q.pop();
            if (Dis>dis[now]) continue;
            for (int i=first[now]; i; i=road[i].next)
                if (dis[now]+road[i].val<dis[road[i].to])
                    dis[road[i].to]=dis[now]+road[i].val,
                    q.push(make_pair(dis[road[i].to],road[i].to));
        }
}
int st[MAXN<<1],tp;
void BuildGraph()
{
    S=1,T=2*(M+1);
    for (int i=1; i<=N; i++)
        {
            tp=0;
            for (int j=head[i]; j; j=edge[j].next)
                st[++tp]=j;
            sort(st+1,st+tp+1,cmp);
            for (int j=1; j<=tp; j++)
                {
                    int now=st[j],suc=st[j+1];
                    if (edge[now].to==N) AddRoad(now,T,edge[now].val);
                    if (i==1) AddRoad(S,now,edge[now].val);
                    AddRoad(now^1,now,edge[now].val);
                    if (j<tp) AddRoad(now,suc,edge[suc].val-edge[now].val),AddRoad(suc,now,0);
                }
        }
}
int main()
{
//  Freopen();
    N=read(),M=read();
    for (int x,y,z,i=1; i<=M; i++) x=read(),y=read(),z=read(),InsertEdge(x,y,z);
    BuildGraph();
    Dijkstra();
    printf("%lld\n",dis[T]);
    return 0;
}

小压一波常数，成功跑到rank2..想怒压300ms到rank1时，失误反而慢了300ms....23333

Orz现场裸跑最短路80分的梁哥....

貌似还有一种类似于DP的方法？