【BZOJ-3122】随机数生成器 BSGS

3122: [Sdoi2013]随机数生成器

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Description

Input

输入含有多组数据，第一行一个正整数T，表示这个测试点内的数据组数。 
 
接下来T行，每行有五个整数p，a，b，X1，t，表示一组数据。保证X1和t都是合法的页码。

注意：P一定为质数

Output

共T行，每行一个整数表示他最早读到第t页是哪一天。如果他永远不会读到第t页，输出-1。

Sample Input

3
7 1 1 3 3
7 2 2 2 0
7 2 2 2 1

Sample Output

1
3
-1

HINT

0<=a<=P-1,0<=b<=P-1,2<=P<=10^9

Source

Solution

不错的题

对于题目中给出的式子，我们尝试的得出$X_{n}$关于$X_{1}$的式子

显然暴力带是不能得到的，考虑对原始式子进行变形：首先同余方程式左右是可以同时+—*/的毫无问题，那么我们对式子如下变化：

$X_{i+1}\equiv aX_{i}+b (mod p)$

==>$X_{i+1}+\frac{b}{a-1}\equiv aX_{i}+b+\frac{b}{a-1} (mod p)$
==>$X_{i+1}+\frac{b}{a-1}\equiv a(X_{i}+\frac{b}{a-1}) (mod p)$

那么我们显然能够用$X_{1}$表示$X_{n}$，层层带入得

$X_{n}+\frac{b}{a-1}\equiv a^{n-1}(X_{1}+\frac{b}{a-1}) (mod p)$

然后在模意义下，我们使用逆元计算，这样的话，利用BSGS算法求解即可

这里有些需要特判掉的情况：

1° $X_{1}=t$ 显然ans=1

2° $a==0$ 显然得到$X_{n}\equiv b(mod p)$ 那么$b=t$时 ans=2 否则 ans=-1

3° $a==1$ 显然得到$X_{n}\equiv X_{1}+(n-1)b(mod p)$ 这样显然可以用ExGCD求解

Code

(感觉这是这道题最短的代码了2333）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
long long read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return (long long)x*f;
}
int T;
long long p;
long long Quick_Pow(long long x,long long y,long long p)
{
    long long re=1;
    for (int i=y; i; i>>=1,x=x*x%p)
        if (i&1) re=re*x%p;
    return re;
}
long long BSGS(long long a,long long b,long long p)
{
    long long m=ceil(sqrt(p)),t=1;
    map<long long,long long>hash;
    for (int i=0; i<=m; i++,b=b*a%p) hash[b]=i;
    long long f=Quick_Pow(a,m,p);
    for (long long i=1; i<=m; i++)
        if (t=t*f%p,hash.count(t)) return i*m-hash[t]+1;
    return -1;
}
int main()
{
    T=read();
    while (T--)
        {
            long long a,b,X1,t;
            p=read(),a=read(),b=read(),X1=read(),t=read();
            if (X1==t) {puts("1"); continue;}
            if (a==0) {if (t==b) puts("2"); else puts("-1"); continue;}
            if (a==1) {if (!b) puts("-1"); else printf("%lld\n",((((t-X1+p)%p)*Quick_Pow(b,p-2,p)%p)%p)+1); continue;}
            long long aa=Quick_Pow(a-1,p-2,p),t1=b*aa%p,t2=(X1%p+t1)%p,tt=Quick_Pow(t2,p-2,p),t3=(t+t1)%p;
            printf("%lld\n",BSGS(a,t3*tt%p,p));
        }
    return 0;
}