【BZOJ-1502】月下柠檬树 计算几何 + 自适应Simpson积分

1502: [NOI2005]月下柠檬树

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Description

Input

文件的第1行包含一个整数n和一个实数alpha，表示柠檬树的层数和月亮的光线与地面夹角(单位为弧度)。第2行包含n+1个实数h0,h1,h2,…,hn，表示树离地的高度和每层的高度。第3行包含n个实数r1,r2,…,rn，表示柠檬树每层下底面的圆的半径。上述输入文件中的数据，同一行相邻的两个数之间用一个空格分隔。输入的所有实数的小数点后可能包含1至10位有效数字。

Output

输出1个实数，表示树影的面积。四舍五入保留两位小数。

Sample Input

2 0.7853981633
10.0 10.00 10.00
4.00 5.00

Sample Output

171.97

HINT

1≤n≤500，0.3

Source

Solution

一道计算集合比较蛋疼的题目

当时的正解应该是分类讨论+特判很多东西再直接求面积，但是发现这题非常适合辛普森积分所以就直接上了

那么先是辛普森积分的公式：

对于某些不易计算曲线的一种近似方法，能自动调整精度，但误差较大（比较平滑的曲线非常适合）

具体的计算流程就是，计算[l,mid]以及[mid,r]与直接计算[l,r]的结果相比较，如果近似则返回[l,r]即可，否则可以分别递归细化

这种做法非常好卡，一种最简单的卡法：这样一开始就会直接返回，然而递归下去才能求的更精确的值

---------------------------------------------------分割线---------------------------------------------------

首先我们考虑这题的投影，圆投下来，和之前完全一样，所以投影本质是一些圆和他们的公切线组成的图形求面积

发现其实是轴对称图形，所以可以考虑直接利用扫描线+自适应Simpson来做

扫描线被覆盖部分的长度的函数F(x)在这个图形的区间中是连续的，因此不必考虑将整个图形拆成若干个一坨一坨的图形再求积分，少了不少细节。

无论扫描线在何处，它被覆盖的部分也是永远是连续的，因此可以暴力找每个圆是否和扫描线有交，每条公切线段是否和扫描线有交，然后取扫描线被覆盖长度的最大值即可

那么至于求公切线，比较简单，给出详细方法：

首先我们得到：$l=C_{i+1}.O.x-C_{i+1}.O.x$
那么我们可以算出：$sin\alpha = (R-r)/l$，$cos\alpha = \sqrt{1-sin^2\alpha}$（考虑从$C_{i+1}.O$向$R$做垂线）
那么可以算出切点：

$C_{i}.A=(C_{i}.O.x+R*sin\alpha,R*cos\alpha)$
$C_{i+1}.A=(C_{i+1}.O.x+r*sin\alpha,r*cos\alpha)$

这题的细节比较麻烦，注意特判圆被另一个圆直接覆盖的情况

---------------------------------------------------分割线---------------------------------------------------

这道题还需要注意一下精度问题

个人测试：eps=1e-5是可行最优

eps=1e-12   --> 5s

eps=1e-8     --> 1s

eps=1e-5     --> 0.5s

eps=1e-3/-4 --> Wrong_Answer

Code

#include<iostream> 
#include<cstdio> 
#include<cstring> 
#include<algorithm> 
#include<cmath> 
using namespace std; 
#define MAXN 1010 
double alpha; 
int N,num; 
#define INF 1e12 
#define eps 1e-5 
struct Point 
{ 
    double x,y; 
    Point (double X=0,double Y=0) {x=X; y=Y;} 
}; 
struct Circle 
{ 
    double r; 
    Point c; 
    Circle(Point C=(Point){0,0},double R=0) {c=C; r=R;} 
}C[MAXN]; 
struct Line 
{ 
    Point s,t; 
    double k,b; 
    Line(Point S=(Point){0,0},Point T=(Point){0,0})  
        { 
            s=S,t=T; 
            if (s.x>t.x) swap(s,t); 
            k=(s.y-t.y)/(s.x-t.x); 
            b=s.y-k*s.x; 
        } 
    double f(double x) {return k*x+b;} 
}l[MAXN]; 
int dcmp(double x) {if (fabs(x)<eps) return 0; return x<0? -1:1;} 
double F(double x) 
{ 
    double re=0; 
    for (int i=1; i<=N; i++) //枚举圆是否与扫描线有交
        { 
            double d=fabs(x-C[i].c.x); 
            if (dcmp(d-C[i].r)>0) continue; 
            double len=2*sqrt(C[i].r*C[i].r-d*d); 
            re=max(re,len);  
        } 
    for (int i=1; i<=num; i++) //枚举公切线
        if (x>=l[i].s.x && x<=l[i].t.x) re=max(re,2*l[i].f(x)); 
    return re; 
} //利用扫描线去判断
double Calc(double l,double r) {double mid=(l+r)/2; return (F(l)+F(r)+F(mid)*4)*(r-l)/6;} 
double Simpson(double l,double r,double now) 
{ 
    double mid=(l+r)/2; 
    double x=Calc(l,mid),y=Calc(mid,r); 
    if (!dcmp(now-x-y)) return now; 
    else return Simpson(l,mid,x)+Simpson(mid,r,y); 
} 
void Solve() 
{ 
    double L=INF,R=-INF; 
    for (int i=1; i<=N+1; i++) 
        L=min(L,C[i].c.x-C[i].r),R=max(R,C[i].c.x+C[i].r); 
//  printf("%lf\n%lf\n",L,R); 
    for (int i=1; i<=N; i++) 
        { 
            double d=C[i+1].c.x-C[i].c.x;  
            if (dcmp(d-fabs(C[i].r-C[i+1].r))<0) continue; //特判小圆被大圆覆盖的情况
            double sina=(C[i].r-C[i+1].r)/d,cosa=sqrt(1-sina*sina); 
            l[++num]=(Line){(Point){C[i].c.x+C[i].r*sina,C[i].r*cosa},(Point){C[i+1].c.x+C[i+1].r*sina,C[i+1].r*cosa}}; 
        } 
    printf("%.2lf\n",Simpson(L,R,Calc(L,R))); 
} 
int main() 
{ 
    scanf("%d%lf",&N,&alpha); 
    double h,r; 
    for (int i=1; i<=N+1; i++) 
        scanf("%lf",&h), 
        C[i]=(Circle){((Point){(h/tan(alpha))+C[i-1].c.x,0}),0}; 
    for (int i=1; i<=N; i++) 
        scanf("%lf",&r),C[i].r=r; 
//  for (int i=1; i<=N+1; i++) 
//      printf("%d     %.2lf     %.2lf\n",i,C[i].c.x,C[i].r); 
    Solve(); 
    return 0; 
}

晚上颓这道‘模版题’简直不要太爽，来个人求一下我的心里阴影面积吧QAQ