【BZOJ-1502】月下柠檬树 计算几何 + 自适应Simpson积分
1502: [NOI2005]月下柠檬树
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Description
Input
文件的第1行包含一个整数n和一个实数alpha，表示柠檬树的层数和月亮的光线与地面夹角(单位为弧度)。第2行包含n+1个实数h0,h1,h2,…,hn，表示树离地的高度和每层的高度。第3行包含n个实数r1,r2,…,rn，表示柠檬树每层下底面的圆的半径。上述输入文件中的数据，同一行相邻的两个数之间用一个空格分隔。输入的所有实数的小数点后可能包含1至10位有效数字。
Output
输出1个实数，表示树影的面积。四舍五入保留两位小数。
Sample Input
10.0 10.00 10.00
4.00 5.00
Sample Output
HINT
1≤n≤500，0.3
Source
Solution
一道计算集合比较蛋疼的题目
当时的正解应该是分类讨论+特判很多东西再直接求面积，但是发现这题非常适合辛普森积分所以就直接上了
那么先是辛普森积分的公式：
对于某些不易计算曲线的一种近似方法，能自动调整精度，但误差较大（比较平滑的曲线非常适合）
具体的计算流程就是，计算[l,mid]以及[mid,r]与直接计算[l,r]的结果相比较，如果近似则返回[l,r]即可，否则可以分别递归细化
这种做法非常好卡，一种最简单的卡法：
这样一开始就会直接返回，然而递归下去才能求的更精确的值
---------------------------------------------------分割线---------------------------------------------------
首先我们考虑这题的投影，圆投下来，和之前完全一样，所以投影本质是一些圆和他们的公切线组成的图形求面积
发现其实是轴对称图形，所以可以考虑直接利用扫描线+自适应Simpson来做
扫描线被覆盖部分的长度的函数F(x)在这个图形的区间中是连续的，因此不必考虑将整个图形拆成若干个一坨一坨的图形再求积分，少了不少细节。
无论扫描线在何处，它被覆盖的部分也是永远是连续的，因此可以暴力找每个圆是否和扫描线有交，每条公切线段是否和扫描线有交，然后取扫描线被覆盖长度的最大值即可
那么至于求公切线，比较简单，给出详细方法：
首先我们得到：$l=C_{i+1}.O.x-C_{i+1}.O.x$
那么我们可以算出：$sin\alpha = (R-r)/l$，$cos\alpha = \sqrt{1-sin^2\alpha}$（考虑从$C_{i+1}.O$向$R$做垂线）
那么可以算出切点：
$C_{i}.A=(C_{i}.O.x+R*sin\alpha,R*cos\alpha)$
$C_{i+1}.A=(C_{i+1}.O.x+r*sin\alpha,r*cos\alpha)$
这题的细节比较麻烦，注意特判圆被另一个圆直接覆盖的情况
---------------------------------------------------分割线---------------------------------------------------
这道题还需要注意一下精度问题
个人测试：eps=1e-5是可行最优
eps=1e-12 --> 5s
eps=1e-8 --> 1s
eps=1e-5 --> 0.5s
eps=1e-3/-4 --> Wrong_Answer
Code
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; #define MAXN 1010 double alpha; int N,num; #define INF 1e12 #define eps 1e-5 struct Point { double x,y; Point (double X=0,double Y=0) {x=X; y=Y;} }; struct Circle { double r; Point c; Circle(Point C=(Point){0,0},double R=0) {c=C; r=R;} }C[MAXN]; struct Line { Point s,t; double k,b; Line(Point S=(Point){0,0},Point T=(Point){0,0}) { s=S,t=T; if (s.x>t.x) swap(s,t); k=(s.y-t.y)/(s.x-t.x); b=s.y-k*s.x; } double f(double x) {return k*x+b;} }l[MAXN]; int dcmp(double x) {if (fabs(x)<eps) return 0; return x<0? -1:1;} double F(double x) { double re=0; for (int i=1; i<=N; i++) //枚举圆是否与扫描线有交 { double d=fabs(x-C[i].c.x); if (dcmp(d-C[i].r)>0) continue; double len=2*sqrt(C[i].r*C[i].r-d*d); re=max(re,len); } for (int i=1; i<=num; i++) //枚举公切线 if (x>=l[i].s.x && x<=l[i].t.x) re=max(re,2*l[i].f(x)); return re; } //利用扫描线去判断 double Calc(double l,double r) {double mid=(l+r)/2; return (F(l)+F(r)+F(mid)*4)*(r-l)/6;} double Simpson(double l,double r,double now) { double mid=(l+r)/2; double x=Calc(l,mid),y=Calc(mid,r); if (!dcmp(now-x-y)) return now; else return Simpson(l,mid,x)+Simpson(mid,r,y); } void Solve() { double L=INF,R=-INF; for (int i=1; i<=N+1; i++) L=min(L,C[i].c.x-C[i].r),R=max(R,C[i].c.x+C[i].r); // printf("%lf\n%lf\n",L,R); for (int i=1; i<=N; i++) { double d=C[i+1].c.x-C[i].c.x; if (dcmp(d-fabs(C[i].r-C[i+1].r))<0) continue; //特判小圆被大圆覆盖的情况 double sina=(C[i].r-C[i+1].r)/d,cosa=sqrt(1-sina*sina); l[++num]=(Line){(Point){C[i].c.x+C[i].r*sina,C[i].r*cosa},(Point){C[i+1].c.x+C[i+1].r*sina,C[i+1].r*cosa}}; } printf("%.2lf\n",Simpson(L,R,Calc(L,R))); } int main() { scanf("%d%lf",&N,&alpha); double h,r; for (int i=1; i<=N+1; i++) scanf("%lf",&h), C[i]=(Circle){((Point){(h/tan(alpha))+C[i-1].c.x,0}),0}; for (int i=1; i<=N; i++) scanf("%lf",&r),C[i].r=r; // for (int i=1; i<=N+1; i++) // printf("%d %.2lf %.2lf\n",i,C[i].c.x,C[i].r); Solve(); return 0; }
晚上颓这道‘模版题’简直不要太爽，来个人求一下我的心里阴影面积吧QAQ
