【BZOJ-4522】密钥破解 数论 + 模拟 （ Pollard_Rho分解 + Exgcd求逆元 + 快速幂 + 快速乘）

4522: [Cqoi2016]密钥破解

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Description

 一种非对称加密算法的密钥生成过程如下：

1.任选两个不同的质数p,q

2.计算N=pq,r=(p−1)(q−1)

3.选取小于r，且与r互质的整数e

4.计算整数d，使得ed≡1KQ/r

5.二元组(N,e)称为公钥，二元组(N,d)称为私钥

当需要加密消息M时（假设M是一个小于L整数，因为任何格式的消息都可转为整数表示），

使用公钥(N,e)，按照n^e≡cKQ/N运算，可得到密文C。

对密文C解密时，用私钥(N,d)，按照c^d≡nKQ/N运算，可得到原文M。算法正确性证明省略。

由于用公钥加密的密文仅能用对应的私钥解密，而不能用公钥解密，因此称为非对称加密算法。

通常情况下，公钥由消息的接收方公开，而私钥由消息的接收方自己持有。这样任何发送消息的

人都可以用公钥对消息加密，而只有消息的接收方自己能够解密消息。

现在，你的任务是寻找一种可行的方法来破解这种加密算法，即根据公钥破解出私钥，并据此解密密文。

Input

输入文件内容只有一行，为空格分隔的j个正整数e,N,c。N<=2^62,c<N

Output

输出文件内容只有一行，为空格分隔的k个整数d,n。

Sample Input

3 187 45

Sample Output

107 12
//样例中 p = 11, q = 17

HINT

Source

Solution

跟着题意模拟...数论大集合(和 猪文 比好像还差点?)

先用Pollard_Rho分解$N$,求出$r$,答案为$Inv(e,r)$和$c^{Inv(e,r)}%N$

求逆元的过程,ExGcd解决好了.分解就是各种随,挺高效的...

坑点:需要快速乘,不然乘法爆longlong....

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
long long read()
{
    long long x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
long long e,N,c,r,P,Q;
long long Quick_Mul(long long x,long long y,long long p)
{
    long long re=0;
    for (long long i=y; i; i>>=1,x=(x+x)%p)
        if (i&1) re=(re+x)%p;
    return re;
}
long long Quick_Pow(long long x,long long y,long long p)
{
    long long re=1;
    for (long long i=y; i; i>>=1,x=Quick_Mul(x,x,p))
        if (i&1) re=Quick_Mul(re,x,p);
    return re;
}
void Exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if (b==0) {x=1; y=0; return;}
    Exgcd(b,a%b,y,x); y-=(a/b)*x;
}
long long GetInv(long long n,long long p)
{
    long long x,y;
    Exgcd(n,p,x,y);
    return (x%p+p)%p;
}
long long Gcd(long long a,long long b)
{
    if (b==0) return a; 
    return Gcd(b,a%b);
}
#define T 10007
long long Pollard_Rho(long long n)
{
    long long x,y,cnt=1,k=2;
    x=rand()%(n-1)+1; y=x;
    while (1)
        {
            cnt++;
            x=(Quick_Mul(x,x,n)+T)%n;
            long long gcd=Gcd(abs(x-y),n);
            if (1<gcd && gcd<n) return gcd;
            if (x==y) return n;
            if (cnt==k) y=x,k<<=1;
        }
}
int main()
{
    srand(T);
    e=read(),N=read(),c=read();
    P=Pollard_Rho(N); Q=N/P;
    r=(P-1)*(Q-1);
    long long Inv=GetInv(e,r);
    printf("%lld %lld",Inv,Quick_Pow(c,Inv,N));
    return 0;
}

WA了好几次,发现是复制的时候少复制了一个头文件.....(不是应该CE的说么??)