【BZOJ-1597】土地购买 DP + 斜率优化

1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

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Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N

* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100

输入解释:

共有4块土地.

Sample Output

500

HINT

FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

Source

Gold

Solution

DP没什么好说的，至于数据范围，铁定得优化到$O（n/nlogn）$，那么考虑斜率优化

题目大意就是划分多组，每组最长*每组最宽为每组的价值，要求价值最小

很容易发现，如果一块土地，他的长和宽都小于等于他所在组的最长长和最长宽，那么这块土地是没有存在的必要的

那么可以考虑对原始数据进行排序，并用 单调栈 去维护一下长宽，达到目的

这样容易得出转移 $dp[i]=min(dp[j]+y[j+1]*x[i])$

那么进行斜率优化得到$(dp[j-1]-dp[k-1])/(y[j]-y[k])>-x[i]$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x;
}
#define maxn 50010
int n,top,que[maxn],l,r;
long long stackx[maxn],stacky[maxn],dp[maxn];
struct Fieldnode
{
    int a,b;
    bool operator < (const Fieldnode & A) const
        {
            if (a==A.a) return b<A.b;
            return a<A.a;
        }
}fie[maxn];
double slope(int i,int j)
{return (dp[j]-dp[i])/(stacky[i+1]-stacky[j+1]);}
int main()
{
    n=read();
    for (int i=1; i<=n; i++)fie[i].a=read(),fie[i].b=read();
    sort(fie+1,fie+n+1);
    for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            while (top && fie[i].b>=stacky[top]) top--;
            top++; stackx[top]=fie[i].a; stacky[top]=fie[i].b;
        }
    for (int tmp,i=1; i<=top; i++)
        {
            while (l<r && slope(que[l],que[l+1])<stackx[i]) l++;
            tmp=que[l];
            dp[i]=dp[tmp]+stackx[i]*stacky[tmp+1];
            while (l<r && slope(que[r],i)<slope(que[r-1],que[r])) r--;
            que[++r]=i;
        }
    printf("%lld\n",dp[top]);
    return 0;
} 

一道奶牛题做成这样也是醉了...