如何求出各种二维偏序

如何求出各种二维偏序？

本章收录怎样的题？

收录类似于上图，区间修改、查询二维空间一定正斜交范围内点信息的问题。

链接	离线否	描述
二维树状数组	在	几乎所有问题
树状数组	离	-
扫描线	离	每次删除方框内的数，最后查询有多少被删除
线段树+双端队列	在	每次删除上下双方框内的数，并查询哪些数删除
二向树状数组	在	每次修改所有值，在线维护哪些点符合连续要求。

1. 二维树状数组

点数量n	坐标值域A	查数量Q	修数量R	时间复杂度	空间复杂度
$n$	$A$	$m$	$m$	$(n + m) \log A^{2}$	$A^{2}$

略。

2. 离线树状数组

点数量n	坐标值域A	查数量Q	修数量R	时间复杂度	空间复杂度
$n$	$A$	$m$	$m$	$(m + n) \log A$	$n$

略。

3. 扫描线

点数量n	坐标值域A	查数量Q	修数量R	时间复杂度	空间复杂度
$n$	$A$	$1$	$m$	$(m + n) \log n$	$A \log A$

开线段树存储一列里面的点。

4. 线段树+双端队列

点数量n	坐标值域A	查数量Q	修数量R	时间复杂度	空间复杂度
$n$	$A$	$m$	$m$	$(m + n) \log n$	$A \log A + n$

例题：有害边树

开线段树维护每个 $x$ 坐标所对应的一竖列上半部分方框的最下端 $p 1$ 和下半部分方框最上端 $p 2$ ，把 deque 里面不符合条件的弹出。由于每次询问要查询所对应的区间，所有点一共只会被弹出 $n$ 次，复杂度 $(m + n) \log n$ 。

双端队列可以被换成 set

5. 二向树状数组

（或线段树）

点数量n	坐标值域A	查数量Q	修数量R	时间复杂度	空间复杂度
$n$	$A$	$m$	$m$	$(A + m) \log A$	$3 A$

例题：传感器

由于维护的是【查询点的值是否在一段连续范围内】，我们只需要知道多久进入这段范围，多久出这段范围就行了。一个点可以由双向树状数组的 $2 \log (A) + 1$ 个节点（或线段树的 $2 \log (A)$ 个节点）覆盖。因此当每个树状数组上的节点更改到【可能使该查询点更新的】值，就暴力更新查询点。