全排列函数

一、概念

　　从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。如果这组数有n个，那么全排列数为n!个。

　　比如a，b，c的全排列一共有3！= 6 种 分别是{a, b, c}、{a, c, b}、{b, a, c}、{b, c, a}、{c, a, b}、{c, b, a}。

二、常用操作

　　1.头文件

#include <algorithm>

　　2.使用方法

　　这里先说两个概念：“下一个排列组合”和“上一个排列组合”，对序列 {a, b, c}，每一个元素都比后面的小，按照字典序列，固定a之后，a比bc都小，c比b大，它的下一个序列即为{a, c, b}，而{a, c, b}的上一个序列即为{a, b, c}，同理可以推出所有的六个序列为：{a, b, c}、{a, c, b}、{b, a, c}、{b, c, a}、{c, a, b}、{c, b, a}，其中{a, b, c}没有上一个元素，{c, b, a}没有下一个元素。

　　　　1）next_permutation：求下一个排列组合　

a.函数模板：next_permutation(arr, arr+size);
b.参数说明：
　　arr： 数组名
　　size：数组元素个数
c.函数功能： 返回值为bool类型，当当前序列不存在下一个排列时，函数返回false，否则返回true，排列好的数在数组中存储

d.注意：在使用前需要对欲排列数组按升序排序，否则只能找出该序列之后的全排列数。
　　　　比如，如果数组num初始化为2,3,1，那么输出就变为了：{2 3 1} {3 1 2} {3 2 1}

2）prev_permutation：求上一个排列组合

a.函数模板：prev_permutation(arr, arr+size);
b.参数说明：
　　arr： 数组名
　　size：数组元素个数
c.函数功能： 返回值为bool类型，当当前序列不存在上一个排列时，函数返回false，否则返回true
d.注意：在使用前需要对欲排列数组按降序排序，否则只能找出该序列之后的全排列数。

三、代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main ()
{
    int arr[] = {3,2,1};
    cout<<"用prev_permutation对3 2 1的全排列"<<endl;
    do
    {
        cout << arr[0] << ' ' << arr[1] << ' ' << arr[2]<<'\n';
    }
    while ( prev_permutation(arr,arr+3) );      ///获取上一个较大字典序排列，如果3改为2，只对前两个数全排列

    int arr1[] = {1,2,3};
    cout<<"用next_permutation对1 2 3的全排列"<<endl;
    do
    {
        cout << arr1[0] << ' ' << arr1[1] << ' ' << arr1[2] <<'\n';
    }
    while ( next_permutation(arr1,arr1+3) );      ///获取下一个较大字典序排列，如果3改为2，只对前两个数全排列
    ///注意数组顺序，必要时要对数组先进行排序

    return 0;
}

 四、全排列递归思路

我们可以将这个排列问题画成图形表示，即排列枚举树，比如下图为{1,2,3}的排列枚举树，此树和我们这里介绍的算法完全一致；

 

 

算法思路：

(1)n个元素的全排列=（n-1个元素的全排列）+（另一个元素作为前缀）；

(2)出口：如果只有一个元素的全排列，则说明已经排完，则输出数组；

(3)不断将每个元素放作第一个元素，然后将这个元素作为前缀，并将其余元素继续全排列，等到出口，出口出去后还需要还原数组；

代码：

public class hello {
    public static int arr[] = new int[]{1,2,3};
    public static void main(String[] args) {
        perm(arr,0,arr.length-1);
    }
    private static void swap(int i1, int i2) {
        int temp = arr[i2];
        arr[i2] = arr[i1];
        arr[i1] = temp;
    }

    /**
     * 对arr数组中的begin~end进行全排列
     * 
     * 比如：
     *     arr = {1,2,3}
     *  第一步：执行 perm({1,2,3},0,2),begin=0,end=2;
     *      j=0,因此执行perm({1,2,3},1,2),begin=1,end=2;
     *          j=1,swap(arr,0,0)-->arr={1,2,3},  perm({1,2,3},2,2),begin=2,end=2;
     *               因为begin==end，因此输出数组{1,2,3}
     *           swap(arr,1,1) --> arr={1,2,3};
     *           j=2,swap(arr,1,2)-->arr={1,3,2},  perm({1,3,2},2,2),begin=2,end=2;
     *               因为begin==end，因此输出数组{1,3,2}
     *           swap(arr,2,1) --> arr={1,2,3};
     *       j=1,swap(arr,0,1) --> arr={2,1,3},      perm({2,1,3},1,2),begin=1,end=2;
     *           j=1,swap(arr,1,1)-->arr={2,1,3}   perm({2,1,3},2,2),begin=2,end=2;
     *               因为begin==end，因此输出数组{2,1,3}
     *           swap(arr,1,1)--> arr={2,1,3};
     *           j=2,swap(arr,1,2)后 arr={2,3,1},并执行perm({2,3,1},2,2),begin=2,end=2;
     *               因为begin==end，因此输出数组{2,3,1}
     *           swap(arr,2,1) --> arr={2,1,3};
     *       swap(arr,1,0)  --> arr={1,2,3}
     *       j=2,swap(arr,2,0) --> arr={3,2,1},执行perm({3,2,1},1,2),begin=1,end=2;
     *           j=1,swap(arr,1,1) --> arr={3,2,1} , perm({3,2,1},2,2),begin=2,end=2;
     *               因为begin==end，因此输出数组{3,2,1}
     *           swap(arr,1,1) --> arr={3,2,1};
     *           j=2,swap(arr,2,1) --> arr={3,1,2},并执行perm({2,3,1},2,2),begin=2,end=2;
     *               因为begin==end，因此输出数组{3,1,2}
     *           swap(arr,2,1) --> arr={3,2,1};
     *       swap(arr,0,2) --> arr={1,2,3}
     *       
     */
    public static void perm(int arr[], int begin,int end) {
        if(end==begin){            //一到递归的出口就输出数组，此数组为全排列
            for(int i=0;i<=end;i++){
                System.out.print(arr[i]+" ");
            }
            System.out.println();
            return;
        }
        else{
            for(int j=begin;j<=end;j++){    
                swap(begin,j);        //for循环将begin~end中的每个数放到begin位置中去
                perm(arr,begin+1,end);    //假设begin位置确定，那么对begin+1~end中的数继续递归
                swap(begin,j);        //换过去后再还原
            }
        }
    }
}