数据结构及算法基础--堆排序（Heap Sort）

我在讲解heapsort之前，我先讲解了priority queue，重点就在于heap排序使用了priority queue的思想。

前面我们很详细的讲解了priority queue的的流程，我们在进行heapsort的时候就会简单很多。

注意我们sink的过程将会是理解heapsort的重要过程。

 

heapsort主要分为两个步骤，1）堆的建造，2）向下排序。

这里，我相信书中的概述是最好的：

 

整个流程图如下：

 

性能分析：

1）时间复杂度：

堆排序的时间复杂度，主要在初始化堆过程和每次选取最大数后重新建堆的过程；

          初始化建堆过程时间：O(n)

        推算过程：

        首先要理解怎么计算这个堆化过程所消耗的时间，可以直接画图去理解；

        假设高度为k，则从倒数第二层右边的节点开始，这一层的节点都要执行子节点比较然后交换（如果顺序是对的就不用交换）；倒数第三层呢，则会选择其子节点进行比较和交换，如果没交换就可以不用再执行下去了。如果交换了，那么又要选择一支子树进行比较和交换；

        那么总的时间计算为：s = 2^( i - 1 )  *  ( k - i )；其中 i 表示第几层，2^( i - 1) 表示该层上有多少个元素，( k - i) 表示子树上要比较的次数，如果在最差的条件下，就是比较次数后还要交换；因为这个是常数，所以提出来后可以忽略；

        S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1)  ===> 因为叶子层不用交换，所以i从 k-1 开始到 1；

        这个等式求解，我想高中已经会了：等式左右乘上2，然后和原来的等式相减，就变成了：

        S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)

        除最后一项外，就是一个等比数列了，直接用求和公式：S = {  a1[ 1-  (q^n) ] }  / (1-q)；

        S = 2^k -k -1；又因为k为完全二叉树的深度，所以 (2^k) <=  n < (2^k  -1 )，总之可以认为：k = logn （实际计算得到应该是 log(n+1) < k <= logn ）;

        综上所述得到：S = n - longn -1，所以时间复杂度为：O(n)

 

        更改堆元素后重建堆时间：O(nlogn)

        推算过程：

       1、循环  n -1 次，每次都是从根节点往下循环查找，所以每一次时间是 logn，总时间：logn(n-1) = nlogn  - logn ；

    

       综上所述：堆排序的时间复杂度为：O(nlogn)

2）空间复杂度

因为堆排序是就地排序，空间复杂度为常数：O(1)

 

3）稳定性

堆排序是不稳定的排序方法。

 

 

这里有两个非常重要的定理：

 

 

就此，我们也算将排序算法讲完了，当然又一些排序算法并没有进行分析，但是也已经足够我们运用和学习了，身下的排序算法也是相对简单并且容易编写的算法。在这里，各处各个算法的比较图：