二分图之 多重匹配 和 最大权匹配 等总结
一.多重匹配：
HDU3605 Escape （裸题）
POJ2289 Jamie's Contact Groups（二分+多重匹配）
POJ3189 Steady Cow Assignment（二分+多重匹配）
POJ2112 Optimal Milking（二分+多重匹配）
二.最大权匹配及KM算法：
模板：
1 bool DFS(int x) //找增广路 2 { 3 visx[x] = true; 4 for(int y = 1; y<=ny; y++) 5 { 6 if(visy[y]) continue; 7 int tmp = lx[x] + ly[y] - g[x][y]; 8 if(tmp==0) //遇到可匹配的，尝试找增广路 9 { 10 visy[y] = true; 11 if(linker[y]==-1 || DFS(linker[y])) 12 { 13 linker[y] = x; 14 return true; 15 } 16 } 17 else //否则，更新最小期望差值 18 slack[y] = min(slack[y], tmp); 19 } 20 return false; 21 } 22 23 int KM() 24 { 25 memset(linker, -1, sizeof(linker)); 26 memset(ly, 0, sizeof(ly)); //初始化右边标杆 27 for(int i = 1; i<=nx; i++) //初始化左边标杆 28 { 29 lx[i] = -INF; 30 for(int j = 1; j<=ny; j++) 31 lx[i] = max(lx[i], g[i][j]); 32 } 33 34 for(int x = 1; x<=nx; x++) //为左边的每个点找到匹配对象 35 { 36 for(int i = 1; i<=ny; i++) //初始化最小期望差值 37 slack[i] = INF; 38 while(true) //多次调整标杆（其实就是多次降低期望值，降低最大权值和），直到找到增广路 39 { 40 memset(visx, 0, sizeof(visx)); 41 memset(visy, 0, sizeof(visy)); 42 43 if(DFS(x)) break; //找增广路，如果找不到，则需要继续降低期望值。 44 int d = INF; 45 for(int i = 1; i<=ny; i++) 46 if(!visy[i]) 47 d = min(d, slack[i]); 48 49 for(int i = 1; i<=nx; i++) //左边访问过的降低期望值，从而可以与未尝试过的点尝试匹配。 50 if(visx[i]) 51 lx[i] -= d; 52 for(int i = 1; i<=ny; i++) //右边访问过的提高期望值，以平衡左边减去的那部分。 53 { 54 if(visy[i]) ly[i] += d; 55 else slack[i] -= d; 56 } 57 } 58 } 59 60 int res = 0; 61 for(int i = 1; i<=ny; i++) 62 if(linker[i]!=-1) 63 res += g[linker[i]][i]; 64 return res; 65 }
对KM算法的理解：
假设左边的点为男生， 右边的点为女生。为每个男生都找到女朋友，且好感度之和要最大。
1.在开始下手之前，每个男生心目中都有一个最喜欢的女生，即好感度最高的。于是，我们就把男生的初始期望值设置为好感度最高的，以表明他们都想得到他们最喜欢的女生。人嘛，一开始都是想要最好的。在这里，初始最大权值和即为所有男生的期望值之和。
2.现在开始找女朋友了：从左边挑选一个没有找到女朋友的男生开始，逐个女生地挑：
1)如果不是自己期望值最高的那个女生，那就先不向她示意，而是把她作为保留选择（人都这样），同时，这个男生需要更新一下：如果被最期望值最高的女生拒绝，则最少需要降低多少期望值，才可以继续找女朋友，且是剩下的期望值最高的（人嘛，受挫了就要降低姿态。但是又仍然保留了那份高傲，即使降低姿态也不能降太低）。
2)如果是自己期望值最高的女生，还等什么，赶紧下手啊！如果女生没有男朋友，或者女生的男朋友可以找到另外一个女生做女朋友（不是自己的永远是最好的）
则成功啦！！然而，如果女生的男朋友找不到另外一个女生做女朋友，那人家肯定不能拱手让爱吧？？所以就失败了，那怎么办？女朋友还是要找的，日子还是要过的。所以男生啊，事实哪有想象中的那么美好。所以只能降低一下期值，然后继续找，不言弃，直至成功！！（写代码的时候是访问过的男生都降低最小的期望差值，访问过的女生都增加最少的期望差值，这样左边减少的转移到右边去了，但又因为最大权值和设得过高了，所以左边部分减少的肯定多于右边部分增加的。）
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三.婚姻稳定问题 Gale - Shapely算法：
UVALive3989 Ladies' Choice
