量子力学基础—第一部分(更正少许错误)

波函数

前言

预留

什么是波函数?

微观粒子的状态是由波函数表示的,波函数是薛定谔方程的解,薛定谔方程的一般形式如下所示

iΨ(x,t)t=[22m2x2+V(x,t)]Ψ(x,t)

其中是普朗克常数

=h2π=1.054572×1034Js

当然这只是一维的薛定谔方程,还有三维情况下的方程,如何解薛定谔方程我们后续再讨论,在此我们先认识几个薛定谔方程中的元素所代表的含义

波函数是关于位移x和时间t的函数,简写为

Ψ(x,t)

波函数本身代表在空间中的一个分布,也表达了粒子具有的所有信息,单独的波函数表达式所具有的意义较少,但是,由玻恩关于波函数的统计诠释指出,|Ψ|2代表了在t时刻,位于x处发现这个粒子的概率,更加精确的表述是

ab|Ψ|2dx=tab

其中

|Ψ|2=ΨΨ

注:为什么|Ψ|2有这种形式?其实波函数Ψ一般变现为复数的形式,复数的模的平方当然也可以是|Ψ|2写成一个复数乘以它的共轭复数的形式是为了方便研究某些问题。

由统计学理论可知,当上式的积分区间趋于无穷大时,也就是积分区间包含了所有粒子所活动的范围,此时|Ψ|2应等于1,代表粒子一定出现在空间中,这种处理波函数的方法称为归一化,即

+|Ψ|2dx=1

不能归一化的波函数是不能描述粒子的必须舍弃,除此之外波函数还应当满足连续和单值条件


定态薛定谔方程

前言

这里开始讨论量子力学的重点,在您开始阅读下面的内容之前,请先拿出一张纸,在纸上书写并辨别下列的三个希腊字母,它们分别是:

字母 名字(读音) 含义
Ψ Psi(大写) 波函数
ψ psi(小写) 与位置有关的函数
φ phi(小写) 与时间有关的函数

这几个希腊字母将会贯彻整有关量子力学的所有公式,请务必学会辨别并牢记

如何解薛定谔方程?

如何解薛定谔方程,从薛定谔方程的形式可以看出,这是一个偏微分方程,是一个二阶波动方程,薛定谔方程的一般形式如下所示

iΨt=22m2Ψx2+VΨ

也可以简写为

iΨt=22mΨxx+VΨ

其中Ψ是波函数,也就是该方程的解,而V则代表势能函数,通常不讨论势能函数的具体内容(势能函数的含义参考力场 势能 - 知乎 (zhihu.com))只需要知道该函数是一个关于坐标和时间的函数V(x,t)

求解微分方程首选分离变量法,若一个微分方程dydx=F(x,y)则可以改写成g(y)dy=f(x)dx的形式,即等号的一侧只出现关于一个自变量的形式,这种微分方程便是可分离变量的微分方程,对于线性偏微分方程而言,作为方程一般的通解可写成乘积形式的解,即

Ψ(x,t)=ψ(x)φ(t)

为什么是这种形式?请参考知乎

当然,微分方程的解的形式是五花八门的,这种形式的解仅仅代表一个非常特殊的解,这个形式对我们分析薛定谔方程具有特殊意义。

由分离变量法可知

{Ψt=ψdφdt2Ψx2=d2ψdx2φ

将上式代入薛定谔方程得

i×(ψφt)=22m×(ψxxφ)+V×(ψφ)

等式两边同时除以ψφ​后得

i×(φtφ)=22m×(ψxxψ)+V 

等式左边是一个只包含时间t的式子,而右边是一个只包含位置x的式子,要想让两式子相等必须让两式都处于一个静止的状态,如果有一方的变量发生了变化,则必定引起另一方变量的变化,两式永远不可能相等,而这种静止的状态就是常量(常数),两式只有同时等于一个常数才可能相等。通常用E来代表这一个常数(其实这两个式子与能量有着密切的关系,后面会证明)即

{i×(φtφ)=E22m×(ψxxψ)+V=E

直到这里,我们成功将时间t和位置x彻底分离开来,接下来我们将专注于研究关于位置x的式子,该式的两边同时乘以ψ后得

22mψxx+Vψ=Eψ

该式就是只关于位置x而于时间无关得定态薛定谔方程。


参考文献

[1] 格里菲斯. 量子力学概论[M]. 第2版. 北京:机械工业出版社, 2009.

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