量子力学基础—第一部分(更正少许错误)
波函数
前言
预留
什么是波函数?
微观粒子的状态是由波函数表示的,波函数是薛定谔方程的解,薛定谔方程的一般形式如下所示
其中
当然这只是一维的薛定谔方程,还有三维情况下的方程,如何解薛定谔方程我们后续再讨论,在此我们先认识几个薛定谔方程中的元素所代表的含义
波函数是关于位移x和时间t的函数,简写为
波函数本身代表在空间中的一个分布,也表达了粒子具有的所有信息,单独的波函数表达式所具有的意义较少,但是,由玻恩关于波函数的统计诠释指出,
其中
注:为什么
由统计学理论可知,当上式的积分区间趋于无穷大时,也就是积分区间包含了所有粒子所活动的范围,此时
不能归一化的波函数是不能描述粒子的必须舍弃,除此之外波函数还应当满足连续和单值条件
定态薛定谔方程
前言
这里开始讨论量子力学的重点,在您开始阅读下面的内容之前,请先拿出一张纸,在纸上书写并辨别下列的三个希腊字母,它们分别是:
字母 | 名字(读音) | 含义 |
---|---|---|
Psi(大写) | 波函数 | |
psi(小写) | 与位置有关的函数 | |
phi(小写) | 与时间有关的函数 |
这几个希腊字母将会贯彻整有关量子力学的所有公式,请务必学会辨别并牢记
如何解薛定谔方程?
如何解薛定谔方程,从薛定谔方程的形式可以看出,这是一个偏微分方程,是一个二阶波动方程,薛定谔方程的一般形式如下所示
也可以简写为
其中
求解微分方程首选分离变量法,若一个微分方程
为什么是这种形式?请参考知乎
当然,微分方程的解的形式是五花八门的,这种形式的解仅仅代表一个非常特殊的解,这个形式对我们分析薛定谔方程具有特殊意义。
由分离变量法可知
将上式代入薛定谔方程得
等式两边同时除以
等式左边是一个只包含时间t的式子,而右边是一个只包含位置x的式子,要想让两式子相等必须让两式都处于一个静止的状态,如果有一方的变量发生了变化,则必定引起另一方变量的变化,两式永远不可能相等,而这种静止的状态就是常量(常数),两式只有同时等于一个常数才可能相等。通常用E来代表这一个常数(其实这两个式子与能量有着密切的关系,后面会证明)即
直到这里,我们成功将时间t和位置x彻底分离开来,接下来我们将专注于研究关于位置x的式子,该式的两边同时乘以
该式就是只关于位置x而于时间无关得定态薛定谔方程。
参考文献
[1] 格里菲斯. 量子力学概论[M]. 第2版. 北京:机械工业出版社, 2009.
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