ABC 283 F - Permutation Distance（推公式，维护二维偏序）

F - Permutation Distance

题意

​ 给出一个排列 P。求序列D，\(D_i\)的定义如下。

\[D_{i}=\min_{j \neq i} \left\{\left|P_{i}-P_{j}\right|+|i-j|\right\} \]

思路

​ 在题目中遇到绝对值问题时，我们应该通过分类讨论来去掉绝对值，所以上式可以被拆成四个式子，如下：

\[1. D_i=(i-P_i)+\min\left\{P_j-j\right\} (P_i<P_j \ \&\& \ i>j) \\ \]

\[2. D_i=(-i-P_i)+\min\left\{P_j+j\right\} (P_i<P_j \ \&\& \ i<j) \\ \]

\[3. D_i=(P_i+i)+\min\left\{-P_j-j\right\} (P_i>P_j \ \&\& \ i>j) \\ \]

\[4. D_i=(P_i-i)+\min\left\{-P_j+j\right\} (P_i>P_j \ \&\& \ i<j) \]

​ 得到这个式子之后，那就是一个很裸的二维偏序维护问题。所以我们需要一共遍历四遍，用4个线段树来维护每个式子来更新答案。

​ 对于 \(i > j\)，需要正序维护；反之倒序维护。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 200005;
int n;
int res[N], p[N];

struct SegmentTree{
    struct Tree{
        int l, r;
        int mn;
    }tr[N * 4];
    void pushup(int u)
    {
        tr[u].mn = min(tr[u<<1].mn, tr[u<<1|1].mn);
    }
    void build(int u, int l, int r)
    {
        tr[u] = {l, r};
        if (l == r)
            tr[u].mn = 1e9;
        else 
        {
            int mid = (l + r) >> 1;
            build(u<<1, l, mid);
            build(u<<1|1, mid + 1, r);
            pushup(u);
        }
    }
    void update(int u, int x, int t)
    {// 单点修改，不需要懒标记
        int l = tr[u].l, r = tr[u].r, mid = (l + r) >> 1;
        if (l == r)
        {
            tr[u].mn = min(tr[u].mn, t);
        }
        else 
        {
            if (x <= mid) update(u<<1, x, t);
            else update(u<<1|1, x, t);
            pushup(u);
        }
    }   
    int query(int u, int x, int y)
    {// 查询区间[x, y]的最值
        int l = tr[u].l, r = tr[u].r, mid = (l + r) >> 1;
        if (x <= l && y >= r) return tr[u].mn;
        else
        {
            int ans = 1e9;
            if (x <= mid) ans = min(ans, query(u<<1, x, y));
            if (y > mid) ans = min(ans, query(u<<1|1, x, y));
            return ans;
        }
    }
}T1, T2;

int main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		cin >> p[i];
	memset(res, 0x3f, sizeof res);

	T1.build(1, 1, n);
	T2.build(1, 1, n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		res[i] = min(res[i], p[i] + i + T1.query(1, 1, p[i]));
		res[i] = min(res[i], -p[i] + i + T2.query(1, p[i], n));
		T1.update(1, p[i], -p[i] - i);
		T2.update(1, p[i], p[i] - i);
	}

	T1.build(1, 1, n);
	T2.build(1, 1, n);
	for(int i = n; i >= 1; i --)
	{
		res[i] = min(res[i], p[i] - i + T1.query(1, 1, p[i]));
		res[i] = min(res[i], -p[i] - i + T2.query(1, p[i], n));
		T1.update(1, p[i], -p[i] + i);
		T2.update(1, p[i], p[i] + i);
	}

	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		cout << res[i] << ' ';
	cout << '\n';
}