P5994 [PA2014]Kuglarz（思维 最小生成树）

P5994 [PA2014]Kuglarz（思维 最小生成树）

题意：

​ 你可以询问$[l,r]$区间的杯子下球的总数的奇偶性，花费是$cos{t}_{i,j}(i\le j)$。若想要知道每个杯子下有无球，求最小花费是多少。杯子的数量为$2e3$。

思路：

​ 很容易知道，若想要知道第$i$个杯子下面有没有球，有两种方式。1.直接询问$[i,i]$。2.询问$[i,j]+[i+1,j]\mathrm{或}\mathrm{者}[j,i]+[j,i-1]$。

​ 那就能想到一个很暴力的方法，也就是区间DP(n ^ 3)。不过复杂度过高，不可写。

​ 现在假设一个超级源点0，[0, 0]是没有球的。如果我们知道所有的$[0,i](1\le i\le n)$，就可以知道每个位置有无小球。由于上面的结论， 我们可以知道，如果我们知道了$[0,i-1]\mathrm{和}[i,j]$的奇偶性，就可以知道$[0,j]$的奇偶性。同理，知道$[0,j]\mathrm{和}[i,j]$就可以知道$[0,i-1]$。

​ 所以，对于区间$[a,b]$，我们可以将$[0,a-1]$和$[0,b]$之间连一条权值为$cos{t}_{a,b}$的边，表示我知道了这两点中的一个，就可以花费$cos{t}_{a,b}$得到另一个。如果我们想要知道所有的杯子下有无球，那就需要知道$[0,i](i\le n)$，也就是整个图联通。

​ 我们按上述做法建图，跑一个裸的最小生成树就可以了。

实现：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int long long

const int N = 2005, M = N * N / 2;
int n;
int cost[N][N];
int res;

struct node {
    int l, r, cost;
    bool operator < (const node &a) const {
        return cost < a.cost;
    }
} edges[M];
int idx = 0;
int fa[N];

int fd(int x)   
{
    if(fa[x] != x)  fa[x] = fd(fa[x]);
    return fa[x];
}

void kruskal()
{
    int cnt = 0;
    res = 0;
    for(int i = 1; i <= idx; i ++)
    {
        auto [a, b, w] = edges[i];
        int ta = fd(a), tb = fd(b);
        if(ta == tb)    continue;
        fa[tb] = ta;
        res += w, cnt ++;
        if(cnt == n)    break;
    }
}

signed main()
{
    scanf("%lld", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)    fa[i] = i;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = i; j <= n; j ++)
        {
            scanf("%lld", &cost[i][j]);
            edges[++ idx] = {i - 1, j, cost[i][j]};
        }

    sort(edges + 1, edges + idx + 1);
    kruskal();
    printf("%lld\n", res);
}