Codeforces #821 Div2（A~D2）题解
CF#821 Div2
A Consecutive Sum
题目：
选择\(i\)和\(j\)，如果\(j = i+xk(x=R)\)，可以交换\(i,j\)。任意选择一段长度为k的相加。
思路：
题目等价于在下标\(mod\) k 相同的数中选一个最大的。简单模拟。可以用vis标记或者优先队列。
实现：
不值一提。
void solve()
{
cin >> n >> k;
priority_queue<int> q[105];
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
int x; cin >> x;
q[(i + 1) % k].push(x);
}
ll res = 0;
for(int i = 0; i < k; i ++)
res += q[i].top();
cout << res << '\n';
}
B Rule of League（分类讨论）
题目：
有n个人，他们之间会进行n-1场比赛。将人分成两部分，一部分人赢了\(x\)把，另一部分人赢了\(y\)把。请问是否存在这样的情况，如果有，请输出每一局的胜者。否则输出-1。
思路：
可以想到，\(x\)和\(y\)必须有一个是0，且不能都为0。因为如果一个人要赢，一定有一个人会直接输掉（也就是这个直接输的人赢0把）。
实现：
判断合法的情况很简单。不过想要输出每一局的胜者需要稍作思考。
void solve()
{
cin >> n >> x >> y;
if(min(x, y) > 0 || max(x, y) == 0) {cout << "-1\n"; return;}
if(x == 0) swap(x, y);
if((n - 1) % x != 0) {cout << "-1\n"; return;}
for(int i = 1; i <= (n - 1) / x; i ++)
for(int j = 1; j <= x; j ++)
cout << 2 + (i - 1) * x << ' ';
cout << '\n';
}
C Parity Shuffle Sorting（构造）
题目：
给出一个长度为n的序列。请你在n次操作内将其变为单调不降序列。
操作：选择\(l\)和\(r\)，如果\(a_l+a_r\)是偶数，那么\(a_l=a_r\)，反之，\(a_r=a_l\)。
思路：
对于这类限制操作次数且不要求最少操作次数的问题。我们尽量将思路靠向用完n次操作正好解决问题。每次操作，可以改变一个数，那么我们就能想到把整个序列变成一个数。
我们先把头和尾变成同一个数，不管原来的是哪个都行。然后对于中间的数，根据其加和的奇偶性选择左端点或右端点。
实现：
没什么值得注意的，根据思路模拟即可。
void solve()
{
cin >> n;
vector<int> a(n + 1);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
cin >> a[i];
if(is_sorted(all(a))) {cout << "0\n"; return;}
cout << n - 1 << "\n";
cout << 1 << ' ' << n << '\n';
int g = ((a[1] + a[n]) & 1 ? a[1] : a[n]);
for(int i = 2; i <= n - 1; i ++)
{
if((g + a[i]) & 1)
cout << 1 << ' ' << i << '\n';
else
cout << i << ' ' << n << '\n';
}
}
D Zero-One（D1贪心，D2记忆化搜索）
题目：
给出\(n,x,y\)和两个长度为n的01串。你可以任选两个\(l,r(l<r)\)，可以取反\(a_l,a_r\)。在不同的情况下，操作的花费是不同的。1. 当\(l+1=r\)的时候，花费为x。 2.其余情况，花费为y。请问将a变成b的最小花费是多少。
思路：
首先我们要想到x和y的操作是可以互换的。比如说，两次y操作可以等价一次x操作。\(a_r-a_l\)次x操作可以等价一次y操作。同时设需要改变的位置有m个。
D1的问题是当\(x>=y\)的时候，求解问题。由于我们知道\(x>=y\)，通过贪心的策略我们可以想到我们要尽量地选择操作y。通过手推样例可以发现，除了存在有两个位置不同且这是两个相邻的位置的时候，我们的花费是\(min(x, 2 * y)\)，其他的情况下花费都是m / 2 * y。
D2的问题是解除对\(x,y\)间关系的限制。当\(x>=y\)的情况的时候，我们已经在D1求解过了。那么接下来，我们只需要解决\(x<y\)的情况就可以了。发现\(n\)是5000，可以用\(n^2\)的DP算法求解。设状态为\(f[i][j]\)，表示在需要改变的位置的序列中，\([l,r]\)的问题还没有解决时，当前的最小花费。直接递推的话，状态不是很好转移，于是选择记忆化搜索来实现这个DP。
实现：
谨防爆int以及初始化。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5005;
char s1[N], s2[N];
int n;
ll x, y;
ll f[N][N];
vector<int> a;
void init()
{
for(int i = 0; i <= n; i ++)
for(int j = 0; j <= n; j ++)
f[i][j] = 2e18;
}
ll dfs(int l, int r)
{
if(l > r) return 0;
if(f[l][r] != 2e18) return f[l][r];
ll &v = f[l][r];
if(a[l] + 1 == a[r])
v = min(v, dfs(l + 1, r - 1) + x);
else
v = min(v, dfs(l + 1, r - 1) + y);
v = min(v, dfs(l, r - 2) + min(y, 1ll * (a[r] - a[r - 1]) * x));
v = min(v, dfs(l + 2, r) + min(y, 1ll * (a[l + 1] - a[l]) * x));
return v;
}
void solve()
{
a.clear();
cin >> n >> x >> y;
cin >> s1 >> s2;
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
if(s1[i] != s2[i])
a.push_back(i);
}
int m = (int)a.size();
if(m == 0) {cout << "0\n"; return;}
if(m & 1) {cout << "-1\n"; return;}
if(x >= y) //贪心，我们可以全部选择y，除了只有两个相邻位置需要改变的情况。
{
if(m == 2 && a[0] + 1 == a[1])
cout << min(x, 2 * y) << '\n';
else
cout << m / 2 * y << '\n';
}
else //DP
{
init();
cout << dfs(0, m - 1) << '\n';
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
int _;
cin >> _;
while(_--)
solve();
}
