C. Divisors of the Divisors of An Integer（质因数分解，数论） 2018-2019 ACM-ICPC, Asia Dhaka Regional Contest

C - Divisors of the Divisors of An Integer（质因数分解，数论）

题目：

​ 给出\(n(1e6)\)，请问\(n!\)的因子的因子的个数。

思路：

​ 因子的个数求解不难，可以知道是质因数分解。

​ 对于一个质因数\(P_i^{k}\)，可以知道其因子的数量的是\((k + 1)\)。对于具体的\(p_i^0\)，有一个因子1；对于\(p_i^1\)，有两个因子1, \(p_1\)；依次类推。易得公式为：

\[res=\prod{(k+1)*(k+2)/2} \]

其中k是各个质因子的幂次

实现：

​ 由于N的范围是\(1e6\)，我们用\(N\sqrt{N}\)直接分解显然是会超时的。我们可以用筛法优化质因数的分解，达到O(n)的时间复杂度。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e7 + 7;

const int N = 1000005;
vector<int> primes;
bool vis[N];
int n;

void init()
{
    for(int i = 2; i <= N; i ++)
    {
        if(!vis[i])  
            primes.push_back(i);
        for(int j = 2; j * i <= N; j ++)
            vis[i * j] = 1;
    }   
}

ll calc(int x)
{
    int res = 0;
    ll tmp = n;
    while(tmp)
    {
        res += tmp / x;
        tmp /= x;
    }
    return res;
}

int main()
{
    init();
    while(scanf("%d", &n))
    {
        if(!n)  break;
        ll res = 1;
        for(int x : primes)
        {
            if(x > n)
                break;
            ll tmp = calc(x);
            res = (res * ((tmp + 1) * (tmp + 2)) / 2ll) % mod;
        }
        printf("%lld\n", res);
    }
}