ABC 267 F Exactly K Steps（树的直径，LCA倍增）

F Exactly K Steps

题目：

​ 给出一棵n个点的树，边权为1，进行2e5次询问，每次输出任意一个离结点\(u\)距离为\(k\)的结点。

思路：

​ 对于树上问题，我们的武器不多，而且时间复杂度为O(logn)，可以尝试往里套知识点。对于一棵树来说，易知一个结点距离最远的结点是树的直径的两个端点中的一个。通过反证法可以推出该结论，若一个结点距离最远的节点不是树的直径的端点，那么这个点才应该是树的直径端点。

​ 现在我们求出树的直径的左右端点编号，然后判断k是否大于超过了点\(u\)到最远点的距离，若超过无解；若不超过，必定有解。那么我们如何得到这个解呢？通过倍增LCA就可以在到达距离\(u\)距离为k的点，对于这个点的位置进行分类讨论即可。

实现：

​ 值得注意的是，用LCA可以求出直径的两个端点。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 200005;
vector<int> g[N];
int dep[N];
int anc[N][35];

void dfs(int u, int fa)
{
    anc[u][0] = fa;
    
    for(int j = 1; j <= 30; j ++)
        if((1 << j) <= dep[u])
            anc[u][j] = anc[anc[u][j - 1]][j - 1];

    for(int v : g[u])
    {
        if(v == fa) continue;
        dep[v] = dep[u] + 1;
        dfs(v, u);
    }
}

int LCA(int x, int y)
{
    if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);

    for(int j = 30; j >= 0; j --)
        if(dep[x] - (1 << j) >= dep[y])
            x = anc[x][j];
    if(x == y)  return x;

    for(int j = 30; j >= 0; j --)
        if(anc[x][j] != anc[y][j] && (1 << j) <= dep[x])
            x = anc[x][j], y = anc[y][j];
    return anc[x][0];
}

int dis(int a, int b)
{
    int c = LCA(a, b);
    return abs(dep[a] - dep[c]) + abs(dep[b] - dep[c]);
}

int find_(int u, int k) //向上跳k次
{
    int depth = dep[u] - k;
    for(int i = 30; i >= 0; i --)
        if(depth <= dep[u] - (1 << i))
            u = anc[u][i];
    return u;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i < n; i ++)
    {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        g[u].push_back(v); g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, -1);
    int L = 1, R = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)    if(dis(1, i) > dis(1, L))   L = i;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)    if(dis(L, i) > dis(L, R))   R = i;

    int m;
    scanf("%d", &m);
    while(m --)
    {
        int u, k;
        scanf("%d%d", &u, &k);
        if(dis(u, R) < dis(u, L))   swap(L, R);
        int dist = dis(u, R);
        if(k > dist)
            printf("-1\n");
        else
        {
            if(k <= dis(u, LCA(u, R))) //查看目标点在LCA的左端还是右端
                printf("%d\n", find_(u, k));
            else
                printf("%d\n", find_(R, dist - k));
        }
    }
}