E. Counting Rectangles（思维 二维前缀和） CF 1722E

题目：

​ 给出一个长度为$1e5$的矩阵序列和$1e5$次询问，每次询问给出两个上下界矩阵，保证大矩阵包含小矩阵，请输出矩阵序列中所有能包含小矩阵且被大矩阵包含的矩阵面积和。矩阵不能被旋转。

​ 包含：A包含B，当且仅当A的长宽都大于B，或者A的长等于B，宽大于B，或者A的宽等于B，长大于B。

分析：

​ 由于拥有$1e5$次数的查询，所以我们可以简单的想到用前缀和来维护面积和，且可以发现题目询问的包含关系是满足单调的。所以我们要知道的就是，如何快速找到这个包含关系。用公式表示这个包含关系就是$h1\le h\le h2,w1\le w\le w2(h\mathrm{和}w\mathrm{不}\mathrm{能}\mathrm{同}\mathrm{时}\mathrm{等}\mathrm{于}\mathrm{下}\mathrm{界}\mathrm{或}\mathrm{上}\mathrm{界})$。将问题抽象化，可以用$a[x][y]$表示长为x，宽为y的矩阵的面积，那么通过二维前缀和就可以$O(1)$查询包含小矩阵且被大矩阵包含的所有矩阵的面积和。

实现：

​ 抽象之后就是二维前缀和模板题，记得初始化数组。

#include <bits/stdc++.h>
    
using namespace std;
#define rep(i, a, n) for(int i = a; i < n; i++)
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define pb push_back
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
#define debug(x)    cout << x << endl;
#define SZ(x)    (int)x.size()
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
void read(int &x) {int s = 0, f = 1; char ch = getchar(); while(!isdigit(ch)) {f = (ch == '-' ? -1 : f); ch = getchar();} while(isdigit(ch)) {s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();} x = s * f;}

const int N = 1005;
int n, m;
LL a[N][N], s[N][N];

void init()
{
    memset(a, 0, sizeof a);
}

void solve()
{
    init();
    cin >> n >> m;
    rep(i, 0, n)
    {
        LL h, w; cin >> h >> w;
        a[h][w] += h * w;
    }

    rep(i, 1, N)
    rep(j, 1, N)
        s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

    while(m --)
    {
        LL h1, w1, h2, w2;
        cin >> h2 >> w2 >> h1 >> w1;
        cout << s[h2][w2] + s[h1 - 1][w1 - 1] - s[h2][w1 - 1] - s[h1 - 1][w2] << '\n';
    }
}

signed main()
{
    ios;
    int _ = 1;
    cin >> _;
    while(_--)
        solve();
}