boruvka

boruvka

是一种对于完全图求最小生成树很好用的算法。

算法流程

每轮为当前每个连通块找到与其最近的连通块，并连边，直到只有一个连通块。

正确性

最后的最小生成树上的每个点，显然都会保留它连出的最短的边。

否则断掉现在它连出的一条边，再连最短的边一定更优。

那么每轮过后，把一个连通块缩成一个点，按照上面的结论一直做下去就是对的。

轮数

每次连通块个数至少除以二，因为最坏情况下的连边就是1-2，3-4，5-6，... $n-1$ -$n$。

所以最多有 $\log n$ 轮。

例题

Atcoder_cf17_final_j Tree MST

做法挺巧妙的。

我们先算出每个点和不同连通块的点的最短边长，以及最近点在哪个块，然后合并到这个点的连通块上去。

设 $su{m}_i$ 表示点 $i$ 到根节点的树上距离，$a_i$ 表示点 $i$ 的权值。

考虑树形 $dp$，先 $dfs$ 一遍找出子树内最近的点（其实就是子树里 $su{m}_v+a_v$ 最小的点，因为 $u$ 到 $v$ 的边长是 $a_u+a_v+su{m}_v-su{m}_u$）。

但是！这个点可能是在同一块里的，怎么办呢？

我们可以不只维护最近的点，另外再维护一个和当前最近点不是同一块的次近点。

这样的话，如果最近点在同一块里，次近点就是答案了。

第二遍 $dfs$，我们求出子树外最近的点，子树外的点到 $u$ 的边长是 $a_u+a_v+su{m}_v+su{m}_u-2\times su{m}_{lca}$。当 $lca$ 固定的时候，这个 $v$ 一定是上一次 $dfs$ 里算出的 $lca$ 的子树中， $su{m}_v+a_v$ 最小的点、和最小点不在一个块的次小点。那么维护从根节点到 $u$，$a_v+su{m}_v-2\times su{m}_{lca}$ 最小的点，和不在同一块的次小点就好了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mkp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,cnt,res,a[N],f[N],s[N];
int idx,hd[N],to[N<<1],nxt[N<<1],len[N<<1];
pair<int,int>p,s1[N],s2[N],ans[N];
int find(int x)
{
    if(f[x]==x)return x;
    return f[x]=find(f[x]);
}
void add(int u,int v,int w)
{
    ++idx,to[idx]=v,nxt[idx]=hd[u],len[idx]=w,hd[u]=idx;
    return;
}
pair<int,int>cmx(pair<int,int>a,pair<int,int>b,pair<int,int>c,int f)
{
    p=mkp(1e18,-1);
    if(a.se!=f)p=min(p,a);
    if(b.se!=f)p=min(p,b);
    if(c.se!=f)p=min(p,c);
    return p;
}
void dfs1(int u,int fa)
{
    s1[u]=mkp(s[u]+a[u],f[u]);
    s2[u]=mkp(1e18,-1);
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==fa)continue;
        s[v]=s[u]+len[i];
        dfs1(v,u);
        if(s1[u]>s1[v])s2[u]=cmx(s1[u],s2[u],s2[v],s1[v].se),s1[u]=s1[v];
        else s2[u]=cmx(s2[u],s1[v],s2[v],s1[u].se);
    }
    return;
}
void dfs2(int u,int fa)
{
    s1[u].fi-=2*s[u],s2[u].fi-=2*s[u];
    if(fa)if(s1[u]>s1[fa])s2[u]=cmx(s2[fa],s1[u],s2[u],s1[fa].se),s1[u]=s1[fa];
    else s2[u]=cmx(s2[u],s1[fa],s2[fa],s1[u].se);
    if(s1[u].se!=f[u])ans[f[u]]=min(ans[f[u]],mkp(s1[u].fi+s[u]+a[u],s1[u].se));
    else if(s2[u].se!=f[u])ans[f[u]]=min(ans[f[u]],mkp(s2[u].fi+s[u]+a[u],s2[u].se));
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==fa)continue;
        dfs2(v,u);
    }
    return;
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1,u,v,w;i<n;i++)scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w),add(u,v,w),add(v,u,w);
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
    cnt=n;
    while(cnt>1)
    {
        dfs1(1,0);
        for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=mkp(1e18,-1);
        dfs2(1,0);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(f[i]==i&&ans[i].se>0&&find(i)!=find(ans[i].se))f[i]=ans[i].se,res+=ans[i].fi;
        }
        cnt=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)cnt+=(find(i)==i);
    }
    printf("%lld",res);
    return 0;
}