高等数学笔记

高等数学

第一章 函数与极限

1）映射

1.定义：

设 \(A\) 与 \(B\) 是两个非空集合，如果我们定义一种对应关系 \(f\) , 使得对于 \(A\) 中的每一个元素 \(a\)，通过 \(f\) 处理之后，在 \(B\) 中总有对应的唯一元素 \(b\) 与其相对应，我们就称这就叫做从 \(A\) 到 \(B\) 的映射，记作 \(f:A → B\) 其中 \(b\) 称作元素 \(a\) 在映射 \(f\) 下的像，记作 \(b = f(a)\)，\(A\) 中的元素称作原像或者逆像，\(B\) 中的元素称作像。

映射概念定义在两个集合之间。设 \(X,Y\) 是集合，则一个 \(X\to Y\) 的映射 \(f\) 使得对于任意 \(x\in X\), 存在唯一的 \(y\in Y\) 与 \(x\) 对应，记此时的 \(y\) 为 \(f(x)\). 称 \(X\) 为 \(f\) 的定义域，称 \(Y\) 为 \(f\) 的到达域，称集合 \(\{ f(x):x\in X \}\) 为 \(f\) 的值域。

2.单射与满射

若 \(B\) 里的每个元素，都被 \(A\) 中的元素所对应，叫做满射。

相类似的，若 \(B\) 的每个元素只被 \(A\) 的元素唯一对应，或者没有被 \(A\) 中的元素对应，叫做单射。

特别的，既是单射又是满射的，叫作双射，也叫一一映射。

读者可能对这两个定义有些不理解，我们通过几个例子来详细解释一下：

例一：

集合\(A：\{1,2,3,4,5\}\)

集合\(B：\{1,4,9,16,25\}\)

我们可以通过对 \(A\) 中的每个元素进行平方运算，对应到 \(B\) 中相应的元素：

\(1→1，2→4，3→9，4→16，5→25\)

在这个例子中，\(B\) 里的每个元素，都被 \(A\) 中的元素所对应，是一种满射，并且 \(B\) 的每个元素只被 \(A\) 的元素唯一对应，或者没有被 \(A\) 中的元素对应，叫做单射。

综上我们可以得到：由 \(A\) 到 \(B\) 的映射是一种双射

例二：
集合\(C：\{ 牛 ,马 ,蚂蚁 ,蜘蛛 ,鸭子 \}\)

集合\(D：\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)

我们可以通过对C中的每个元素，数它的腿的个数（健全的情况下），对应到D中相应的元素：

牛 \(→ 4\)，马 \(→ 4\) ，蚂蚁 \(→ 6\) ，蜘蛛 \(→ 8\) ，鸭子 \(→ 2\)

这也是一种映射,但是在例二中，\(D\) 中的\(1,3,5,7\)未被 \(C\) 中的元素对应，因此不是满射，并且，\(D\) 中的 \(4\) 同时被牛和马对应，因此不是单射。

这里我们类比一下高中阶段学习的函数，我们在高中阶段就已经学过，一个函数 \(y = f(x)\)，我们知道这里 \(y\)的取值叫做值域， \(x\) 的取值叫做定义域，但是这个定义不够精准，这里的\(f\) 到底是什么意思？但是通过上边的学习我们我们可以知道，\(f\) 就是从值域到定义域的一个映射，由此我们可以得到：函数就是定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）

在接下来的内容中，我们将会着重讨论实数集 \(\mathbb{R}\) 与函数的关系，所谓函数，应该是\(D → \mathbb{R}\) 的映射，其中 \(D\) 是实数集的子集。我其实并不赞成在 \(y = f(x)\) 的语境下说 \(y\) 是 \(x\) 的函数，更不赞成类似于说函数 \(f(x)\) 类似的内容，而是赞成说函数 \(f\) 因为函数本质上是一种对应关系而并非一个数（前面的表述不是不可以，只是解释更加累赘罢了）

3.逆映射：

定义：设 \(f：A→B\) 是集合 \(A\) 到集合 \(B\) 上的一一映射，如果对于 \(B\) 中每一个元素 \(b\)，使 \(b\) 在 \(A\) 中的原象\(a\)和它对应，这样得到的映射称为映射 \(f：A→B\)的逆映射，记作 \(\frac{1}{f：B→A}\) 或者，$f ^ {-1} $(这也就是所谓函数 \(f\) 的反函数)。必须是一一对应的单射才能满足 。

mpp，我实在是不想写这个映射了

既然都提到函数了，那我们接下来就说函数

2）函数

1.函数的单调性/增减性

增函数

设函数 \(f\) 的定义域是 \(I\)，如果对于一个区间 \(D \subset I\) 上的两个任意值 \(x_1, x_2\)， 当 \(x_1 < x_2\) 时， 都有 \(f(x_1) < f(x_2)\)，那么我们就称 \(f(x)\) 在 \(D\) 上是单调递增的，或者说 \(f(x)\) 是在区间 \(D\) 上的一个增函数

减函数

设函数 \(f\) 的定义域是 \(I\)，如果对于一个区间 \(D \subset I\) 上的两个任意值 \(x_1, x_2\)， 当 \(x_1 < x_2\) 时， 都有 \(f(x_1) > f(x_2)\)，那么我们就称 \(f(x)\) 在 \(D\) 上是单调递减的，或者说 \(f(x)\) 是在区间 \(D\) 上的一个减函数

2.函数的奇偶性

设函数 \(f\) ，定义域为 \(I\)。如果对于 \(\forall x \in I\)，都有 \(f(-x) = f(x)\) ，那么函数 \(f\) 就称作偶函数

设函数 \(g\) ，定义域为 \(D\)。如果对于 \(\forall x \in D\)，都有 \(g(-x) = -g(x)\)，那么函数 \(g\) 就称作奇函数

由此，我们不难得到奇偶函数的一些性质：

奇偶函数的性质：

①奇偶函数定义域关于原点对称。

②奇函数的图像关于原点对称。

③偶函数的图像关于 \(y\) 轴对称。

④奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。

⑤若函数 \(f(x)\) 是奇函数，且在 \(x = 0\) 处有定义，则 \(f(0) = 0\) 。

⑥若函数 \(f(x)\) 是偶函数，则 \(f(x) = f(|x|)\) 。

⑦两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数

3.函数的周期性：

函数周期性的定义：若存在一非零常数 \(T\) ，对于定义域内的任意 \(x\)，都有\(f (x) = f (x + T)\) 恒成立，则\(f (x)\)叫做周期函数，\(T\)叫做这个函数的一个周期。

特别注意:

(1) 周期函数的定义域一定是无限集

(2) 由周期函数的定义可知，\(0\) 不能作为函数的周期

(3) 如果 \(T\) 是 \(f(x)\) 是它的一个周期，那么\(-T\)也是\(f(x)\)的周期，即周期可以为负值。

(4) 如果\(T\)是\(f(x)\)是它的一个周期，那么\(nT\)也是\(f(x)\)的周期，即周期函数有无数个周期

(5) 如果\(f(x)\)为周期函数，且所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫\(f(x)\)的最小正周期

(6) 周期函数\(f(x)\)不一定含有最小正周期，如常数函数，它的周期为任意实数

4.函数的反函数：

设函数 \(f : D → f(D)\) 是单射，则它存在逆映射 \(f^{-1} : f(D) → D\)，称此映射 \(f^{-1}\) 为函数 \(f\) 的反函数。
根据这个定义，我们不难得倒，对于 \(\forall y \in f(D)\) ，都有唯一的 \(x \in D\) ，使得 \(f(x) = y\)，于是我们有：

\[f^{-1} (y) = x \]

这也表明，反函数 \(f^{-1}\) 的对应法则完全是由函数 \(f\) 的对应法则所确定的。

对于一个反函数 \(y = f^{-1}(x)\)，他的原来的函数叫做直接函数（不是原函数！）

对于一个函数 \(y = f(x)\) 来说，他的反函数也可以表示为 \(arc \ f\)，举个例子，函数 \(y = \sin x\) 的反函数可以写为 \(x = \arcsin y\)

附录：一些常见函数的写法：

双曲正弦： \(\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\)，这是一个奇函数，在他的定义域上单调递增

双曲余弦： \(\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)，这是一个偶函数，在区间 \((-\infty, 0)\)上单调减少，在区间 \((0, \infty)\)上单调增加

双曲正切： \(\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\)，这是一个奇函数，在他的定义域上单调递增，而且函数夹在直线 \(x = 1\)和直线 \(x = -1\) 中

以上三个函数的定义域都是 \((-\infty, \infty)\)

以上三个函数的加减运算与三角函数和差化积公式类似，在此不多做赘述。

3）极限

1.数列的极限：

数列极限：

我们设有一个圆 \(O\)，我们在里面做圆内接正 \(n\) 边形 \((n | 6 = 0)\)，设第一个图形的面积为 \(A_1\)，第二个为 \(A_2...\)，这样，这些内接多边形的面积

\[A_1, A_2, A_3,...,A_n,... \]

构成一个数列，当 \(n\) 越大，正多边形的面积与圆的面积的差就越小，但无论 \(n\) 有多么大，只要 \(n\) 取定，\(A_n\) 终究不等于圆的面积。因此，我们设想 \(n → \infty\)，即正多边形的边数无限增加，\(A_n\)就趋近于某个特定的值，这个值就是以上数列 \(\{A_n\}\)当 \(n → \infty\)时的极限。

一个数列 \(\{x_n\}\) 可以看作一个自变量关于正整数 \(n\) 的一个函数 \(x_n = f(n),x \in \mathbb{N_+}\)，当 \(n\) 依次取所有正整数时，对应的函数值就构成一个数列 \(\{x_n\}\)

接下来我们要讨论的是：当 \(n → \infty\) 时，对应的 \(x_n = f(n)\) 是否趋近于某个特定的值？这个值等于多少？

我们对一个数列 \(\{x_n\} = \frac{n + (-1)^{n - 1}}{n}\) 进行分析，在这个数列中，显然有 \(x_n = 1 + (-1)^{n - 1} \frac{1}{n}\)，通过初中知识我们知道，两个数之间的接近程度可以用这两个数差的绝对值来表示，这个值越小，这两个数就越接近。

对于上边那个数列，由于 \(|x_n - 1| = \frac{1}{n}\)，由此可见，当 \(n\) 无限变大时， \(\frac{1}{n}\) 越来越小，\(x_n\)就越来越接近 \(1\)。所以只要给定的 \(n\) 足够大，\(|x_n - 1|\) 就可以小于任意给定的数 \(\epsilon\)（无论它多么小）。由此，我们就可以得到数列极限的精确定义：

设 \(\{x_n\}\) 为一数列，如果存在一个常数 \(a\)，对于任意给定的正数 \(\epsilon\) （无论它多么小），总存在一个正整数 \(N\)，使得当 \(n < N\) 时，不等式 \(|x_n - a| < \epsilon\) 都成立，那么我们就称常数 \(a\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限，或者称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)。记为

\[\lim_{n → \infty} x_n = a \]

相类似的，如果不存在这样的常数 \(a\) ，我们就说数列 \(\{x_n\}\)，没有极限，或者说这个数列是发散的。

收敛数列的性质：

定理1：如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛，那么他的极限唯一。（极限的唯一性）

定理2：如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛，那么数列 \(\{x_n\}\) 一定有界。（收敛极限的有界性）

定理3：如果 \(\lim_{n → \infty} x_n = a\)，且 \(a > 0\) （或者 \(a < 0\))，那么存在正整数 \(N\)，当 \(n < N\) 时，都有 \(x_n > 0\) (或者 \(x_n < 0\))。（收敛数列的保号性）

定理3推论：如果数列 \(\{x_n\}\) 从某项起有 \(x_n \ge 0\) （或 \(x_n \le 0\)），且 \(\lim_{n → \infty} x_n = a\)，那么 \(a \ge 0\) （或 \(a \le 0\)）。

定理4：如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)，那么他的任一子数列也收敛于 \(a\)。（收敛数列与其子数列间的关系）

2.函数的极限

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积分

1）不定积分：

1.定义

设函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上有定义，若存在可导函数 \(F\)，使得对于 \(\forall x \in I\)，都有 \(F' = f'\)。那么我们就称 \(F\) 是 \(f\) 在区间 \(I\) 上的一个原函数 。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

2.原函数存在定理：

若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续,则必存在原函数。此条件为充分条件，而非必要条件。即若 \(f（x）\) 存在原函数，不能推出 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续。由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。

由于连续函数的导函数也一定是连续函数，由此我们就可以得到这样一个定理：

连续函数必有原函数

那么接下来的问题就是，函数 \(f\)（或 \(f(x)dx\)） 在区间 \(I\) 的原函数 只有 \(F\) 一个吗？

显然，这个结论是错误的。这是因为 \(C' = 0\)，所以说 \((F(x) + C)' = f(x)\)，故我们应说函数 \(f\) 的原函数是 \(F(x) + C\) 这一些函数而并非函数 \(F\)。

由此我们就可以得到不定积分的定义：

3.不定积分定义：

若函数 \(F\) 在区间 \(I\) 上有导函数 \(F' = f\)， 那么我们就称 \(F\) 是函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上的一个不定积分，记作：

\[\int f(x)dx = F(x) \]

其中 \(\int\) 为积分号，\(f(x)\) 或 \(f(x)dx\) 称作被积表达式，这种运算称作不定积分。

4.分部积分法：

设函数 \(u = u(x)\)， \(v = v(x)\)具有连续导数，他们导数的乘积为：\((uv)' = u'v + v'u\)，对这个式子两边求不定积分，得：
\(\int uv'dx = uv - \int u'v d\)

例题：
\( \int x e^x dx =\int \sin xde^x\\ =e^x \sin x - \int e^xd\sin x \\ = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx \\ = \frac{1}{2} e^x(\sin x + cos x) + C \)

5.第一类换元积分法：

通过导数的定义我们可以得到：对于可导函数 \(f(x),g(x)\)，那么\((f(g(x)))' = f'(g(x)) + g'(x)\)，对两边积分，可得：\(\int f'(g(x)) + g'(x) dx = f(g(x))\)，如果我们令 \(u = g(x)\)，那么这个式子就可以表示为 \(\int f'(x) + u' dx = f(u)\)。这就是第一类换元积分法的基本思想。

6.第二类换元积分法：

在计算 \(\int f(x) dx\) 的时候，我们如果通过某种玄学变换， \(x = \phi (x)\)，将其转化为\(\int f(\phi(x)) d\phi (x) = G(t) + C\)，那么我们将 \(x = \phi(t)\) 将其变换就能得到 \(t = \phi^{-1}(x)\)，所以原来的积分 \(int f(\phi(x)) d\phi(x) = G(\phi^{-1}(x)) + C\)。这就是所谓的第二类换元积分法

2）定积分:

在说定积分前，我们首先考虑一个问题，如果我们要求一个函数 \(f(x) = x^2\) 在区间 \([x_0,x_n]\) 上与 \(x\) 轴围成的面积，该怎么求呢？

这是一个不规则图形，故无法直接使用公式来求。但是如果我们将这个图形所在的区间分为 \([x_0, x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n - 1},x_n]\)，并记这些区间的长度为 \(\Delta x_1,\Delta x_2, \Delta x_3,...,\Delta x_n\)，在每一个小区间 \([x_{i - 1}, x_i]\) 上任取一点 \(\xi\)，用底为 \(\Delta x_i\)， 高为 \(f(\xi_i)\) 的矩形来逼近第 \(i\) 个窄曲边梯形的面积，所以小矩形面积 \(S_i = f(\xi_i)\Delta x_i\)，故整个曲边梯形的面积就可以表示为：

记$$\lambda = \max_{i = 1}^n {\Delta x_i} $$

\[S = \lim_{\lambda → 0} \sum_{i = 1} ^ n f(\xi_i)\Delta x_i \]

然后我们就得到了定积分的定义：

1. 定义：

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\)上连续，将区间 \([a,b]\) 分为 \(n\) 个区间 \([x_0,x_1],[x_2,x_3],...,[x_{n - 1},x_n]\)，其中 \(x_0 = a,x_n = b\)，将每一个小区间的长度记作 \(\Delta x_1,\Delta x_2, \Delta x_3,...,\Delta x_n\)，记 \(\lambda = \max_{i = 1}^ n\{\Delta x_i\}\)，在每一个区间\([x_{i - 1}, x_i]\) 中取一点 \(\xi_i\)，当 \(\lambda → \infty\)时，极限 $$\lim_{\lambda → 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$$存在，那么我们就称这个极限为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的定积分，记作 $$S = \lim_{\lambda → 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i)\Delta x_i = \int_a^b f(x) dx$$

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傅里叶级数（谐波分析）

1) 傅里叶级数的一般形式

我们首先给出傅里叶级数的一般形式

\[f(t) = \frac{a_0}{2}\sum_{n = 1} ^ {\infty} [a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)] (1) \]

其中：

\[a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0} ^ {t_0 + T} f(t) \cos (n \omega t) dt (2) \]

\[b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0} ^ {t_0 + T} f(t) \sin (n \omega t) dt (3) \]

单看那个 \((1)\) 式，就是把周期函数 \(f(t)\) 描述成一个常数系数 \(a_0\)、及 \(1\) 倍 \(\omega\) 的 \(\sin\) 和 \(\cos\) 函数、\(2\) 倍 \(\omega\) 的 \(\sin\) 和 \(\cos\) 函数等、到 \(n\) 倍 \(\omega\) 的 \(\sin\) 和 \(\cos\) 函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即 \(A_n\) 和 \(B_n\) ，至于这些系数，需要用积分来解得，即 \((2)(3)\) 式，不过为了积分方便，积分区间一般设为 \([-\pi, \pi]\) ，也相当一个周期 \(T\) 的宽度。

这个式子非常复杂，我们能否从数学角度推导出这个公式，从而使傅里叶级数来的明白些呢？

2）把一个周期函数表示成三角级数：

首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：$$f(t) = A\sin (\omega t + \phi)$$

实变函数与泛函分析

第一章 集合

1) 集合的基本概念

由于集合的大部分基础内容大家在高中课本中已经学过，再次我就不过多赘述了。。

我们在实变函数内容中主要研究的是集合的“无限交”与“无限并”的内容，这对实变函数与泛函分析的学习有着深刻而基础的性的影响。。

2) 集合的运算

1.并集

设 \(A\), \(B\) 为两个集合，设 \(C\) 由一切属于 \(A\) 或者属于 \(B\) 的元素组成，我们就称 \(C\) 为 \(A\), \(B\) 的并集或者说和集，记为 $C = A \bigcup B $，显然有

\[A \cup B = \{x|x \in A 或 x \in B\} \]