0108 模拟赛总结

概况

5 题， 共 4h，我 1，dry 4。

A - X 魔法对

预期：AC，实际：AC。

题意

给定 $a,b,x$ 三个正整数，可以做若干次操作，每次操作可以把 $a$ 或者 $b$ 改为 $|a-b|$，问能否做若干次操作，使 $a$ 或 $b$ 变成 $x$。

思路

暴力超时，考虑数学。

令 $a>b$，则发现把 $b$ 变成 $|a-b|$ 是无效操作，因此会把 $a$ 变为 $|a-b|$。又发现，在出现 $a<b$ 前，会一直执行上述操作，所以考虑一步到位，将 $a$ 变为 $amodb$，然后交换 $a,b$，循环上述操作。

在操作过程中（直到出现 $0$），出现 $a-k\times b=x$， $a=x$ 或者 $b=x$，那么有解，否则无解。

B - “或”游戏

预期：AC，实际：WA。

题意

给定长度为 $n$ 的正整数序列 $a_i$，和正整数 $x,k$，可以给任意的 $a_i$ 一共乘上 $k$ 个 $x$，最大化序列的或和。

思路

容易发现乘法操作要一起做，且做在尽量大的数上，考虑给某个数乘上 $k$ 个 $x$。在二进制位的层面上，位数最高的数乘出来位数一样的，由于或运算的特性，最终的或和会补充低位的空缺，于是不能确定在某个数上做乘法一定或和最大，为了方便，枚举每个数来乘 $k$ 个 $x$，求最大值，具体实现可以用前、后缀或和来辅助处理。

为什么没做对？

想到给最大的数做乘法，但怕错，就写了个 DP，表面看起来很对，但或运算是不满足最优子结构的，也就是说这一步的最优不一定能用到下一步的最优中去。

所以在 DP 时要想清楚问题要求什么，为什么要用 DP，DP 不是万能的。

C - 离散离心跳跃

期望：TLE，实际：TLE。

题意

一排 $n$ 个房子，高度为 $a_i$，从房子 $1$ 跳到 $n$，从 $j$ 跳到 $i$ 需满足条件之一：

• $i=j+1$
• $max(a_{j+1},a_{j+2}...a_{i-1})<min(a_i,a_j)$
• $min(a_{j+1},a_{j+2}...a_{i-1})>max(a_i,a_j)$

求最小步数。

思路

DP。

条件 1 好转移，考虑 2。

对于 $i$，求在 $i$ 前面，离 $i$ 最近的大于等于它的数 $j$，则 $j+1\sim i-1$ 都可以转移。维护一个单调下降的单调栈，在弹出时转移即可，手推。

3 与 2 类似，也是单调栈。

为什么没做对？

看了眼题就不太会，没怎么思考。

多注意单调栈、单调队列优化 DP 的条件。

D -表格游戏

期望：AC，实际：WA。

题意

给定 $n$ 行 $m$ 列的矩阵，若干次操作：删一整行或整列，问能否使矩阵的和为 $s$，要输出方案。

思路

数据范围是 $1\le n,m\le 15$，考虑搜索，时间复杂度是 $O(2^{n^2})$，于是可以用 meet in the middle，折半搜索，优化为 $O(2^{\frac{3}{2}n}n)$。具体实现是先枚举行的删除情况，然后枚举一半的列的删除情况，再枚举另一半列的删除情况，用 map 来找匹配的一半即可。

为什么没做对？

想 DP，结果我的 DP 可以乱删，子矩阵不一定代表父矩阵。

要注意数据范围，搜索也有可能是正解（虽然有卡常）。

E - 恢复排列

期望：WA，实际：WA。

题意

定义排列 $a_i$ 的 $s$ 数组：$s_i$ 表示在 $a_i$ 前面且小于 $a_i$ 的数的和。给定一个排列 $a_i$ 的 $s_i$，构造出 $a_i$。

思路

观察样例，考虑 $0$ 表示什么，即前面没有比它小的数，如果有多个 $0$，那么最后一个 $0$ 一定可以填最小的数，所以考虑 $n$ 轮，第 $i$ 轮找到最靠后的 $0$，把它设为 $i$，再把它后面的数减 $i$。用线段树可以完成。

为什么没做对？

如何构造是想到了的，但不会实现，这是真不应该。

多练。