J-Melborp Elcissalc

题意

有一个长度为$n$的序列，每个位置可以填$0$到$m-1$之间的一个数，求有多少种构造序列的方式，使得构造出来的序列恰有$t$个连续子段满足和可以被$m$整除

$1\le n,m\le 64,0\le t\le \frac{n(n+1)}{2}$

题解

本题的关键是要想到区间$[l,r]$的和能被$k$整除，等价于序列的前缀和数组的第$l-1$和第$r$位在模$m$意义下相等（前缀和数组的第0位应该被视作0，不能忽略），又因为序列和它的前缀和数组是一一对应的，所以我们构造的是实际上是前缀和数组

给定一个确定的序列，求序列有多少连续子段和可以被$k$整除。

设$cn{t}_i$表示$i$在序列的前缀和数组中出现的次数，上述问题的答案显然为$\sum _{i=0}^n{C}_{cn{t}_i}^2$

基于以上分析，设$f_{ijk}$表示填$0$到$i$之间的数，序列长度为$j$，有$k$个连续子段能被$m$整除，枚举序列中$i$的数量，容易得到转移方程为

$f[i][j][k]=\sum _{l=0}^j{C}_j^{l}f[i-1][j-l][k-C_l^2],k\ge C_l^2$

注意边界的初始值，注意这题组合数比较小，可以预处理存下来，转移时进行适当剪枝，就可以通过极限数据

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=70,mod=998244353;
ll n,m,t,f[N][N][N*N];
ll C[N][N];
void init(){
    ll i,j;
    C[0][0]=1;
    for(i=1;i<=64;++i){
        for(j=0;j<=i;++j){
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
        }
    }
}
int main(){
    init();
    ll i,j,k,l;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&t);
    for(i=1;i<=n;++i){
        f[0][i][i*(i+1)/2]=1;
    }
    for(i=0;i<=m-1;++i){
        f[i][1][0]=i,f[i][1][1]=1;
    }
    for(i=0;i<=m-1;++i){
        f[i][0][0]=1;
    }
    for(i=1;i<=m-1;++i){
        for(j=2;j<=n;++j){
            for(k=0;k<=min(t,j*(j+1)/2);++k){
                for(l=0;l<=j;++l){
                    if(k<C[l][2]) continue;
                    f[i][j][k]=(f[i][j][k]+C[j][l]*f[i-1][j-l][k-C[l][2]])%mod; 
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",f[m-1][n][t]);
    return 0;
}