最大流最小割学习 基本知识 | 证明 | FF算法

可行流 ： 能流过去就行，不一定是最大流。

最大流：能流到的最大流量。（可能不只一个）

解决最大流：

　　Ford-Fulkerson方法

　最小割：从图中去除一些边，使得源点S到汇点T不连通，去除的这些边权的权和最小,就是最小割

　　PS!!!这个权和可以证明等于网络的最大流量！

 最大流等价于最小割！！！  求解最大流问题，也可以转化为最小割

但是求最大流和求最小割集是两类不同的算法。求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法

 

1》》任意割大于等于任意流

　　从源点到汇点必然经过割边（必然存在其中一条边是割边）那么令S - T的分支流分别为f1,f2,^...fn，f1 + f2 + …… fn = f

(流——你可以少，但不能多，多过这条边的流限制就错了，所以，分割S,T集合后，流向T的必然会完全流入T，而割就是如何分割S，T

　　所以f1<=c1,f2<= c2,f3 <= c3

　　所以任意可行的割ci + cj + ck >= fi + fj + fk

2》最大流 = 最小割

（思考问题的时候要把每一条边分离出来看，对于合并的流也应该拆开）

　　最大流是不能再流了，所以对于每一条分流中，必然存在一条边 i，使得fi == ci,对于这条边源头的流出目的是我要满足达到ci的流量即为最大流，且fi >= fk(k!=i),所以ci也是最小的容量

　　所以对于每一个分流，我都会割取最小的容量边，而又因为是最大流，所以最小容量边必然满流，否则必然存在增广路径使的当前流变为最大流，所以最小割对应的容量即为最大流

求解最大流算法：

　　最简单的FF算法：

　　当然因为简单易操作，所以时间复杂度较高，一般不会使用在ACM上，但一切都是以简单为基础的

　　FF算法的思想：

　　　　从s到t一直寻找可行最大流量，找到一个，最终的最大流加上它，然后就不找了，回溯，维护正向边和逆向边，然后回溯完了，进行适当的初始化后再重新找，直到找不到位置

　　从我的描述方面就能看出，FF算法做了很多重复性的工作，一条边一条线可能被扫多次，但是没有标记这条边不可行，因为只有边可行才会维护删权

　　接下来是代码

　　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define inf (1<<28)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e4 + 1e2;
const int maxm = 1e5 + 1e3;
//n个点 m条边
//从s - t求最大流
int n,m,s,t;
//链式前向星存储
struct node
{
    int to,cost,pre;
}e[maxm<<1];
int id[maxn],cnt;
//最大流量ans
ll ans;
//dfs中
bool vis[maxn],flag;
void add(int from,int to,int cost)
{
    e[cnt].to = to;
    e[cnt].cost = cost;
    e[cnt].pre = id[from];
    id[from] = cnt++;
}
int dfs(int now,int flow)
{
    if(now == t)
    {
        flag = true;
        ans += flow;
        return flow;
    }

    vis[now] = 1;

    for(int i = id[now];~i;i = e[i].pre)
    {
        int to = e[i].to;
        int cost = e[i].cost;

        if(vis[to] || cost == 0)continue;

        int delta = dfs(to,min(flow,cost));

        if(flag)
        {
            e[i].cost -= delta;
            e[i^1].cost += delta;
            return delta;
        }
    }
    return 0;
}
void FF()
{
    flag = false;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dfs(s,inf);
    while(flag)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        flag = false;
        dfs(s,inf);
    }
}
void init()
{
    memset(id,-1,sizeof(id));
    cnt = 0;
    ans = 0;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t))
    {
        init();
        int from,to,cost;
        for(int i = 1;i <= m;++i)
        {
            scanf("%d%d%d",&from,&to,&cost);
            add(from,to,cost);
            add(to,from,0);
        }
        FF();
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}