floyd算法之最小环问题
最小环问题:都比较容易得到从u 到 v 经过中间某一些结点的最短路,但是我们得确保回来的时候,不能经过那些结点,这样我们就需要改一下floyd算法了
进而我们想到用Floyd算法。我们知道,Floyd算法在进行时会不断更新矩阵dist(k)。设dist[k,i,j]表示从结点i到结点j且满足所有中间结点,它们均属于集合{1,2,⋯ ,k}的一条最短路径的权。其中dist[0,i,j ]即为初始状态i到j的直接距离。对于一个给定的赋权有向图, 求出其中权值和最小的一个环。我们可以将任意一个环化成如下形式:u->k->v ->(x1-> x2-> ⋯ xm1)-> u(u与k、k与v都是直接相连的),其中v ->(x1-> 2-> ⋯ m)-> u是指v到u不经过k的一种路径。
在u,k,v确定的情况下,要使环权值最小, 则要求 (x1一>x2->⋯一>xm)->u路径权值最小.即要求其为v到u不经过k的最短路径,则这个经过u,k,v的环的最短路径就是:[v到u不包含k的最短距离]+dist[O,u,k]+dist[O,k,v]。我们用Floyd只能求出任意2点间满足中间结点均属于集合{1,2,⋯ ,k}的最短路径,可是我们如何求出v到u不包含k的最短距离呢?
现在我们给k加一个限制条件:k为当前环中的序号最大的节点(简称最大点)。因为k是最大点,所以当前环中没有任何一个点≥k,即所有点都<k。因为v->(x1->x2->......xm)->u属于当前环,所以x1,x2,⋯ ,xm<k,即x1,x2.⋯。xm≤k一1。这样,v到u的最短距离就可以表示成dist[k一1 ,u,v]。dist[k一1,v,u]表示的是从v到u且满足所有中间结点均属于集合{1,2,⋯ ,k一1}的一条最短路径的权。接下来,我们就可以求出v到u不包含k的最短距离了。这里只是要求不包含k,而上述方法用的是dist[k一1,v,u],求出的路径永远不会包含k+l,k+2,⋯ 。万一所求的最小环中包含k+1,k+2,⋯ 怎么办呢?的确,如果最小环中包含比k大的节点,在当前u,k,v所求出的环显然不是那个最小环。然而我们知道,这个最小环中必定有一个最大点kO,也就是说,虽然当前k没有求出我们所需要的最小环,但是当我们从k做到kO的时候,这个环上的所有点都小于kO了.也就是说在k=kO时一定能求出这个最小环。我们用一个实例来说明:假设最小环为1—3—4—5—6—2—1。的确,在u=l,v=4,k=3时,k<6,dist[3,4,1]的确求出的不是4—5—6—2—1这个环,但是,当u=4,v=6,k=5或u=5,v=2,k=6时,dist[k,v,u]表示的都是这条最短路径.所以我们在Floyd以后,只要枚举u.v,k三个变量即可求出最小环。时间复杂度为O(n3)。我们可以发现,Floyd和最后枚举u,v,k三个变量求最小环的过程都是u,v,k三个变量,所以我们可以将其合并。这样,我们在k变量变化的同时,也就是进行Floyd算法的同时,寻找最大点为k的最小环。
主要是思路不好想,理解了思路,代码就出来了,唯一的wa点没想到是我经常用的inf 0x3f3f3f3f太小了,以后用0xfffffff吧
#include <iostream> #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn = 150; int n,m,a,b,c; int mp[maxn][maxn];//表示的正常从u到v经过k的最短路 int A[maxn][maxn];//表示的是不经过k的时候回来的时候的最短路 int floyd() { int retmin = INF; for(int k = 1;k <= n;k++) { for(int i = 1;i < k;i++)//假设k为最大的结点,进行遍历优化,并且最后也不会包含最大的结点n { for(int j = i + 1;j < k;j++) { //为什么不更新优化mp数组呢,是因为这是一个暴力的循环,总能够找到最小值! int tmp = A[i][j] + mp[i][k] + mp[k][j]; //这个时候A[i][j]还没有更新k结点!!因为下一层才开始更新…… if(tmp < retmin)retmin = tmp; } } for(int i = 1;i <= n;i++) { for(int j = 1;j <= n;j++) { if(A[i][j] > A[i][k] + A[k][j]) A[i][j] = A[i][k] + A[k][j]; } } } return retmin; } int main() { int i,j; while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { //初始化 for(int i = 1;i <= n;i++) { for(int j = 1;j <= n;j++) { mp[i][j] = A[i][j] = INF; } } //输入距离进行更新,防止重边的影响,自动定义为双向边 for(int i = 1;i <= m;i++) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); mp[a][b] = mp[b][a] = A[a][b] = A[b][a] = min(mp[a][b],c); } //进行floyd算法,寻找最小环 int s = floyd(); if(s == INF) printf("It's impossible.\n"); else printf("%d\n",s); } return 0; }