字符串 - 学习笔记
0 - 定义
string s 或 char s[]。
1 - 字典树(\(\texttt{Trie}\))
将 \(n\) 个字符串存储在一棵树中。每个字符代表一条边，根节点到每个单词节点经过的所有边代表了所有的字符串。
实现：
const int maxn=2e5+3;
const int maxa=26 +3;
string s;
bool word[maxn];
int ch[maxn][maxa];
int init(int n){ // 建树
int tot=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>s;
int len=s.length();
int now=1;
for(int j=0;j<len;j++){
int &to=ch[now][s[j]-'a'];
if(!to)to=++tot;
now=to;
}
}
return tot;
}
void query(int q){ // 查询
for(int i=1;i<=q;i++){
cin>>s;
int len=s.length();
int now=0;
for(int j=0;j<len;j++){
int &to=ch[now][wd[s[j]]];
if(!to){ cout<<"0\n"; goto ed; }
now=to;
}
ed:;
}
}
1.1 - 01 Trie
特殊的 Trie，仅由 \(01\) 构成，显然 01 Trie 是一棵二叉树。
而二进制数可以看作 \(01\) 串，因此 01 Trie 可以被用于处理某些
二进制数的问题。
2 - 字符串匹配问题
2.1 - 单模式串匹配问题
\(\text{Question 1:}\)
给定模式串 \(s\) 和文本串 \(t\)，查询文本串 \(t\) 是否在 \(s\) 中出现，以及所有的出现位置。
\(\text{Solution 1:}\)
暴力匹配 \(O(|s|)\) 枚举子串的左端点 \(i\) ，然后 \(O(|t|)\) 枚举 \(t\) 的位置 \(j\) 检查是否匹配 \((s_i+j-1 = t_j)\)，最坏复杂度为 \(O(|s| × |t|)\) 。
\(\text{Solution 2(KMP):}\)
在暴力匹配的过程中，如果发现 \(j\) 这个位置不可行，那么 \(i\) 就换成 \(i + 1\) 然后重新匹配。
如果匹配发现 \(j\) 不可行，至少可以确定 \(t\) 在 \(1\) 到 \(j - 1\) 这段范围都是匹配上了的，根据这个信息我们是否可以进行优化？把 \(i\) 和 \(j\) 换到一个更合适的位置？
这个合适的位置只与 \(t\) 和 \(j\) 有关而与 \(s\) 无关。定义失配指针（或失配函数）\(fail(j) = k\) 表示 \(i, j + 1\) 失配后 \(j + 1\) 换到 \(k + 1\) 重新开始匹配。
计算失配函数的时候就是 \(t\) 在匹配自己。
2.1.1 - KMP(Knuth-Morris-Pratt)
实现：
const int maxn=2e5+3;
const int maxa=26 +3;
char s[maxn],t[maxn];
int lens,lent;
int fail[maxn];
void init(){
cin>>s+1; cin>>t+1;
lens=strlen(s+1); lent=strlen(t+1);
}
void getfail(){
fail[0]=-1;
for(int i=0;i<lent;i++){
int j=fail[i];
while(~j&&t[j+1]!=t[i+1]) j=fail[j];
fail[i+1]=j+1;
}
}
void solve(){
for(int i=1,j=0;i<=lens;i++){
while(~j&&s[i ]!=t[j+1]) j=fail[j];
j++;
if(j==lent) cout<<i-lent+1<<'\n', j=fail[j];
}
}
\(fail\) 的性质
\(fail(j)\) 是最大的下标 \(k\) 满足：\(t(1, k) = t(j - k + 1, j)\) ，也就是前缀等于后缀的最大长度。
\(j - fail(j)\) 是 \(t(1, j)\) 的最小循环节。
将失配指针看作指向父节点的话，失配关系构成一棵树，称为失配树，或 fail 树。
\(\text{Solution 3(Hash):}\)
哈希可以枚举位置然后 \(O(1)\) 判断 \(t\) 和 \(s\) 的一个子串是否相同。
2.1.2 - Hash
将字符串看作 \(B\) 进制数，由于数字太大，对 \(p\) 取模作为哈希值。
其中 \(B,p\) 必须互质。
自然溢出：\(p = 2^{64}\)，那么 \(B\) 必须是奇数。
如果两个串哈希值相等，就认为这两个串是相同的。
由于可以将字符串转换成数字，哈希值的应用相当广泛。
哈希冲突
如果有两个不同的串哈希值相同，就说这两个串哈希值冲突了。
如果要计算 \(n\) 个不同串的哈希值，一般的模型可以假定 \(n\) 个哈希值是在 \([0,p-1]\) 的随机数，根据生日悖论相关理论，当 \(n = O(\sqrt p)\) 的时候有 \(O(1)\) 的概率两个随机数相同。
所以当 \(p = 10^9 + 7\) 之类的数的时候其实 \(n\) 稍微大一点就会溢出。这个时候可以采用自然溢出或者双模数。
区间哈希值
对于一个串 \(s\) 通过预处理快速求一个子串的哈希值。
预处理前缀哈希 \(h(i)\) 以及 \(p(i) = B^i\) ，那么 \([L,R]\) 的哈希值为
也就是说通过预处理可以 \(O(1)\) 求任意子串的哈希值。
\(\text{Solution 4(ACAM):}\)
是文本串个数为 \(1\) 的特殊情况。
2.2 - 多模式串匹配问题
\(\text{Question 2:}\)
给定模式串 \(s\) 和 \(n\) 个文本串 \(\{t_i \}\)，查询每个文本串 \(t_i\) 是否在 \(s\) 中出现的次数。
\(\text{Solution 1(KMP):}\)
使用 KMP 的话，每个文本串都要 \(O(|s|)\) ，复杂度是 \(O(n|s|)\)。
\(\text{Solution 2(ACAM):}\)
将所有文本串建 Trie 树，那么暴力匹配的话就是在 Trie 树上走，如果一个节点失配了，我们可以类似 KMP 定义一个失配指针，指向某个节点，这里的失配指针就可以从一个文本串跳到另一个文本串。
先建出 Trie 树，然后求失配指针。求失配指针的过程与 KMP 是类似的，注意由于失配指针指向的点未必是祖先，但是一定深度变小，因此我们需要 bfs Trie 树上的节点来求失配指针。
但是为了保证复杂度以及为了方便，我们可以记 \(trans(u,c)\) 表示从 \(u\) 节点开始跳 \(fail\) 直到能够走 \(c\) 字符走到的节点。（直接跳 \(fail\) 复杂度不正确）
这个 \(trans\) 的关系构成了一张 DAG ，称为字典图，求出字典图，那么匹配的时候就不需要跳 \(fail\) 直接走 \(trans\) 就可以了。
