数学大礼包 - Day 3, 4

咕咕咕

整除

定义 1.1 - 整除

\(a\mid b\) 指 \(\exists n \in \mathbb{Z}\) 使得 \(an=b\) 满足传递性： \(a\mid b,b\mid c\) .
则 \(a\mid c\) 可加减性： \(n\mid a,n\mid b\) .
则 \(n\mid a\pm b\) 可乘性： \(a\mid b,c\mid d\) 则 \(ac\mid bd\) .
例题：证明 \(8\mid 3^{2n+1}+5\).
\(3^{2n+1}+5= 3^{2n+1} -3+8 =3(9^k-1)+5 = 3(9-1)(......)+5\) 故成立.

因数定理

定义 2.1 - 最大公约数和最小公倍数

最大公约数 \(\gcd(a,b)=\max\{x\mid a,x\mid b\}\)
最小公倍数 \(\operatorname{lcm}(a,b)=\min\{a\mid x,b\mid x\}\)

引理 1 - 带余除法

\(\forall a,b\)，\(\exists\) 唯一 \(k,r\) 使得 \(a=kb+r\) (\(0\le r<b\)) .
证明：构造集合 \(S=\{x \in \mathbb{N}： x=a-k b, k \in \mathbb{Z}\}\)
可知该集合必有最小值，设其为 \(r\)， \(0\le r=a-kb\) .
存在性：设 \(r \ge b\)，带入知 \(a-(k+1)b\ge 0\)，另 \(r'=a-(k+1)b\) .
由于 \(b>0\)，\(r'<r\) 于假设 \(r\) 最小不符 故 \(0\le r <b\).
唯一性：假设有两种表示 $$ \left{\begin{array}{} a=r_{i}+k_{i} b \ a=r_{j}+k_{j} b \end{array}\right. $$ 则 \(r_i-r_j=b(k_i-k_j)\)，由于 \(r<b\)，则合法解只有 \(r_i=r_j\) 情况，故写法唯一。
求证：\(\operatorname{lcm}(a,b)\mid\) 其余公倍数 .
证明：设 \(\operatorname{lcm}\) 为 \(d\)，其余任意一个公倍数为 \(c\).
假设 \(d\nmid c\)，则设 \(c \bmod d=r\)，\(r=c-kd\)，所以 \(r\) 也是公倍数且小于 \(\operatorname{lcm}\) 与假设不符.
求证：\(\gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)\) .
显然设任意公约数为 \(d\)，\(d\mid a,d\mid b\) 所以 \(d\mid (a-b)\)，故不影响结果.

2.2 - 辗转相除法

\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\) .
求证辗转相除法的正确性?
由上一条，显然取余等效于多次的减法，故显然也正确

2.3 - 裴蜀定理

(\(a,b,x,y\) 均为非 \(0\) 整数， \(a,b\) 为定值)，总存在 \(x,y\) 使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\)，且设 \(k\) 为正整数，\(d\) 为 \(\gcd(a,b)\) 则 \(ax+by=kd\)，证明自行查阅此处不深入.
由此可证，\(a,b\) 的任意公因数 \(c\) 整除其最大公约数 \(d\).
因为 \(d=ax+by\) 其中 \(c\mid a,c\mid b\) 故 \(c\mid d\) 整除具有互质可消性，即 \(a\mid bc\)，\(ab\) 互质则 \(a\mid c\) (互质指最大公约数为 \(1\)).
证明：存在 \(x,y\) 使得 \(ax+by=1\).
所以 \(c=axc+byc\).
故 \(a\mid c\).

质数定理

定义 3.1 - 质数

设 \(n\) 是质数当且仅当 \(n\) 只有 \(1\) 和 \(n\) 作为因子. 以下用 \(p\) 来表示质数.
反证可知无数个质数.

引理 2 - \(p\) 和任意其余整数要么互质要么整除

由质数定义可知

引理 3 - 若 \(p\mid ab\) 则 \(p\mid a\) 或 \(p\mid b\)

由整除消去性可知.

3.2 - 算数基本定理(唯一分解定理)

任意正整数 \(n=\prod_{i=1}^{k} p_i ^ {z_i}\) (除了1) 称为标准分解式.
文字描述就是说：一个大于一的正整数可以分解成若干质数的乘积，若忽视质因子顺序，则分解方式唯一.
证明：
可分解性： 数学归纳法， \(2\) 自己是质数肯定成立，设 \(2\sim k\) 成立，则若 \(k+1\) 是质数自然满足，不是质数则可以分解出至少两个因数，两个因数可以分解，故可以分解.
唯一性： 设两种分解方案 \(p,q\)，设 \(n\) 是最小的有多种方案的数.
两种方案都必有一个因子整除 \(n\)，由于是质数所以这个因子是相等的，把 \(n\) 除以 这个因子得出一个更小的数，这个数依然有多种分解，与 \(n\) 的最小性违背，所以分解唯一 \(v_p(n)\) 表示 \(n\) 的标准式中因子 \(p\) 的指数.
性质：

\[v_{p}(n_1,n_2) = v_{p} (n_{1}) +v_{p} (n_{2}) \]

\[v_p(gcd(n1,n2))= \min(v_p(n_1),v_p(n_2)) \]

\[v_p(lcm(n1,n2))= \max(v_p(n_1),v_p(n_2)) \]

\[v_p(n_1+n_2) \left\{\begin{matrix} =\min(v_p(n1),v_p(n_2)) \ \ (v_p(n1) \neq v_p(n_2)) \\ \ge v_p(n_1) \ \ (v_p(n1) = v_p(n_2)) \end{matrix}\right. \]

\[v_p(n!)=\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor \]

\[v_p(C_n^m)=\sum_{i=1 \to \infty} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor -\left \lfloor \frac{m}{p^i} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{n-m}{p^i} \right \rfloor \]

这个式子的含义十分特别，它恰巧是 \(n+(n-m)\) 在 \(p\) 进制下的进位次数.

3.3 - 因数相关推论

设 \(n=\prod_{i=1}^{k} p_i ^ {z_i}\)

1. 设 \(m=\prod_{i=1}^{k} p_i ^ {f_i}\)，则 \(m\mid n\) 等效于 \(f_i\le z_i(1 \le i \le k)\)
2. 因数个数公式 $$\tau(n) =\prod_{i=1}^k (z_i+1) $$
3. 因数和公式 $$\sigma(n) = \prod_{i=1}^k \frac{p_{i}^{z_{i+1}}-1}{p_i-1} $$
4. 因数积公式：$$n^{\frac{\tau(n)}{2}}$$
   例题：
5. \(p\) 为质数，\(x、y\) 是正整数，解方程 \(p^x=y^3+1\) \(y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)\)
   特判其中一个是一解得 \(y=1,p=2,x=1\)。
   \(\gcd(y+1,y^2-y+1)=\gcd(y+1,3)\) (辗转相除法) 故 \(p=3\)，解得 \(x=3,y=3\)。

定理 3.4 - 设 \(n,m\) 唯一分解式为 \(n=\prod_{i=1}^{k} p_i ^ {f_i} ,m=\prod_{i=1}^{k} p_i ^ {g_i}\) 则 \(\gcd(n,m)= \prod_{i=1}^{k} p_i ^ {\min(f_i,g_i)},\operatorname{lcm}(n,m)= \prod_{i=1}^{k} p_i ^ {\max(f_i,g_i)}\).

推论 4

以下用\((,)\)表示 \(\gcd\).

1. \((ma,mb)=m(a,b)\).
   证明：略.
2. \((a,uv)=(a,(a,u)v)\).
   证明：\((a,(a,u)v)=((a,av),uv)=(a,uv)\).
3. \((u,v)=1 \Rightarrow (a,uv) = (a,u)(a,v)\).
   证明：参考分解，\(u,v\) 无公因数所以分开计算不影响结果.
4. \((a,b)=(c,d)=1 \Rightarrow (ab,cd)=(a,c)(a,d)(b,c)(b,d)\)，就是推广的 3.
5. \((a,b)=1 \Rightarrow (a^k ,b^k)=1\).
6. \(gcd(a,b)\times lcm(a,b)=ab\).
   证明：参考唯一分解，因此上述最大公约数的性质对最小公倍数成立.