贪心构造专题
CF1530D Secret Santa
给你一个序列 \(a\)，满足 \(a_i\neq i\)，每次操作可以将任意位置上的数改为 \([1,n]\) 上的数，求将此序列变为一个 \(1\sim n\) 的排列且 \(a_i\neq i\) 的最小操作次数，输出一种方案。
\(n\le 2\times 10^5\)
贪心构造，首先次数很简单，就把所有不合法的位置搞掉即可。对于不合法的位置，将可以填上去的数集 \(S\) 倒序放在每个位置上，然后依次检查每个位置，若出现 \(a_i=i\) 的情况，就和同类型的，第一个未修改的位置交换，可以保证合法。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+3;
int T,n,a[maxn],siz[maxn],vis[maxn];
vector<int>v[maxn];
vector<int>t1,s;
int r1[maxn];
void solve(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
vis[i]=0;
cin>>a[i];
siz[a[i]]++;
v[a[i]].emplace_back(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(siz[i]){
vis[i]=1;
if(siz[i]>1){
for(int j=1;j<siz[i];j++){
t1.emplace_back(v[i][j]);
}
r1[v[i][0]]=i;
}else{
if(v[i][0]==i){
t1.emplace_back(v[i][0]);
}else{
r1[v[i][0]]=i;
}
}
}
}
sort(t1.begin(),t1.end());
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
s.emplace_back(i);
}
}
int len=s.size();
for(int i=0;i<len;i++){
r1[t1[i]]=s[len-i-1];
}
int f1=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(r1[i]==i){
swap(r1[i],r1[v[a[i]][0]]);
}
}
if(!f1){
cout<<n-len<<'\n';
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<r1[i]<<" \n"[i==n];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
v[i].clear();
siz[i]=0;
r1[i]=0;
}
s.clear();
t1.clear();
}
signed main(){
cin>>T;
while(T--){
solve();
}
return 0;
}
ABC137D Summer Vacation
给你 \(n\) 个工作，\((a_i,b_i)\) 表示工作 \(i\) 需要花费 \(a_i\) 天，收益为 \(b_i\)，每天只能做一个，求 \(m\) 天内得到的最大收益。
\(n,m\le 10^5\)
考虑带悔贪心，先按 \(a_i\) 为第一关键字，\(b_i\) 为第二关键字排序，若 \(m-cnt\ge a_i\) 则把 \(i\) 扔进堆里，否则就考虑把堆里最小的元素扔掉直到满足条件，再把 \(i\) 放进堆里，每步求最优答案，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+3;
int n,m;
struct node{
int a,b;
bool operator<(const node o)const{
if(a!=o.a) return a>o.a;
return b<o.b;
}
}a[maxn];
struct nodee{
int a,b;
bool operator<(const nodee o)const{
if(b!=o.b) return b>o.b;
return a>o.a;
}
};
priority_queue<nodee>q;
int ans,sum,cnt;
signed main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i].a>>a[i].b;
}
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
int tot=0;
if(m-cnt>=a[i].a){
q.push({a[i].a,a[i].b});
cnt++;
sum+=a[i].b;
ans=max(ans,sum);
}else{
while(!q.empty()&&m-cnt<a[i].a&&tot+q.top().b<=a[i].b){
tot+=q.top().b;
sum-=q.top().b;
cnt--;
q.pop();
}
if(m-cnt>=a[i].a){
q.push({a[i].a,a[i].b});
cnt++;
sum+=a[i].b;
}
ans=max(ans,sum);
}
}
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}
P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G
给你一序列 \((w_i,t_i)\)，求一种 \(c_i\in\{0,1\}\) 序列，满足 \(R=\frac{\sum c_it_i}{\sum c_iw_i}\) 最大且分母不小于 \(W\)，输出 \(1000\times R_{\max}\)。
\(n\le 250,W\le 1000\)
分数规划板子题。
分数规划具有单调性，于是我们可以二分一个 \(x\)，判断 \(R\ge x\) 即合法。拆式子
满足上式即可，记 \(d_i=t_i-xw_i\)。对于没有 \(W\) 的限制，可以直接贪心选取 \(d_i>0\) 的位置；而有了 \(W\) 的限制，就使用背包，\(w_i\) 为重量，\(d_i\) 为价值，\(f_W>0\) 即合法，时间复杂度 \(O(nW\log nW)\)。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=253;
const double eps=1e-6;
int n,W,a[maxn],b[maxn];
double f[maxn<<3];
bool check(double x){
for(int i=1;i<=W;i++) f[i]=-1e9;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=W;j>=0;j--){
int k=min(W,j+a[i]);
f[k]=max(f[k],f[j]+b[i]-x*a[i]);
}
}
return f[W]>0;
}
signed main(){
cin>>n>>W;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i]>>b[i];
}
double l=0,r=250000,ans;
while(l+eps<=r){
double mid=(l+r)/2;
if(check(mid)){
l=mid;
}else{
r=mid;
}
}
cout<<int(l*1000);
return 0;
}
