0 - 前置

0.1 rad

把长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 $1$ 弧度的角，用符号 $\text{rad}$ 表示。

由此，${360}^{\circ }$ 的角的弧度为 $\frac{C}{r}=2\pi$接下来便有：$k\text{ rad}=\frac{\pi }{{180}^{\circ }}{n}^{\circ }$。

称一个角 $\alpha$ 将其终边旋转若干周，得到的角的集合，称为终边位置集合 $=\{\beta |\beta =\alpha +2k\pi ,k\in \mathbf{Z}\}$。

0.1.1 $\pi$ 的计算

使用 acos(-1) 得到的 $\pi$ 值最精确。

当然我会背，3.14159265358979323846264388，平时取十几位就够了。

0.2 - 坐标系

0.2.1 - 平面直角坐标系

初中常用，不详细讲了，注意到坐标系两维的单位长度可以调整。直角坐标记为有序数对 $(a,b)$。

0.2.2 - 平面极坐标系

初中数学书上提到过，就是一维为长度，有正方向 $x$，另一维为角度。极坐标记为 $A(L,\theta )$，$L=|OA|,\theta =\mathrm{\angle }xOA$。

注意到，$(L,\theta )$ 与 $(L,\theta +2k\pi )(k\in \mathbf{Z})$ 表示的是同一个点，由此可知，原点 $O(0,\theta )(\theta \in \mathbf{R})$。

平面直角坐标系与平面极坐标系的转换

画图易证。

设 $A(L,\theta )$，则 $A$ 的直角坐标 $(x,y)$ 为 $(L\sin \theta ,L\cos \theta )$。

设 $A(x,y)$，则 $A$ 的直角坐标 $(L,\theta )$ 表示为 $L=\sqrt{x^2+y^2},\tan \theta =\frac{y}{x}$。但注意到，同一个 $\tan \theta$，有两个可能的 $\theta$ 取值，但在具体实现中，cmath 库提供了函数 atan2(y,x) 可以通过分类讨论解决这个问题。

0.3 - vector

0.3.1 - definition

记为 $\overrightarrow{a}$ 或 $\mathbf{a}$，后文都记为 $\overrightarrow{a}$。

有向线段： 带有方向的线段，$\overrightarrow{AB}=(A,\theta ,L)$（起点，方向，长度），通常用来表示向量，显然终点是唯一确定的，为 $B$。

模： 有向线段的长度，记为 $|\overrightarrow{AB}|=L$。

对于二维向量（下简记为②）：

    double length(){
        return x*x+y*y;
    }
    double mod(){
        return sqrt(length());
    }

零向量，单位向量： 记为 $\overrightarrow{0},\overrightarrow{e}$，零向量方向任意，$|\overrightarrow{0}|=0,|\overrightarrow{e}|=1$。

平行： 两向量平行 $\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}\iff {\theta }_{\overrightarrow{a}}={\theta }_{\overrightarrow{b}}/{\theta }_{\overrightarrow{a}}=-{\theta }_{\overrightarrow{b}}(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0})$，它们可以平移到同一直线上，方便进行运算。

②，对于两向量 $\overrightarrow{a}=(x_a,y_a),\overrightarrow{b}=(x_b,y_b)$：

    bool friend parallel(vec_2 a,vec_2 b){
        if(!a.x&&!b.x) return 1;
        if(!a.x||!b.x) return 0;
        double k1=a.y/a.x,k2=b.y/b.x;
        return k1==k2;
    }

相等/相反向量： 模相等，方向相同/反的向量。

②：

    bool friend operator==(vec_2 a,vec_2 b){
        return equal(a.mod(),b.mod())&&parallel(a,b);
    }

向量夹角： 两非零向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$夹角，记为 $\theta =<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\mathrm{\angle }AOB(\theta \in [0,\pi ])$，特别的，$\theta =\pi /2$ 时 $\overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}$。

向量不能比较大小，但能比较模长和判断相等。

0.3.2 - calculation

加法

类比物理中的力的合成以及位移知识，可以知道：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

三角形法则： 若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；

平行四边形法则： 若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

由图易知，加法满足交换律结合律。

②，对于两向量 $\overrightarrow{a}=(x_a,y_a),\overrightarrow{b}=(x_b,y_b)$：

    vec_2 friend operator+(const vec_2 a,const vec_2 b){
        return vec_2(a.x+b.x,a.y+b.y);
    }

减法

注意到 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$，即把减法转化成加法。

②，对于两向量 $\overrightarrow{a}=(x_a,y_a),\overrightarrow{b}=(x_b,y_b)$：

    vec_2 friend operator-(const vec_2 a,const vec_2 b){
        vec_2 c=vec_2(-b.x,-b.y);
        return a+c;
    }

乘法

向量的乘法有两种，一是点积（数量积），二是叉积（向量积）。结果类型不同。

点积定义为 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的投影乘以 $\overrightarrow{b}$ 的模，即：

有一些性质如下：

• $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\iff \overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}$
• $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\iff \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 共线
• $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$

②，对于两向量 $\overrightarrow{a}=(x_a,y_a),\overrightarrow{b}=(x_b,y_b)$，有 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_a{x}_b+y_a{y}_b$（对于更高维度，加上额外维度的坐标积即可）：

    double friend dot(vec_2 a,vec_2 b){
        return a.x*b.x+a.y*b.y;
    }

叉积比较特殊，它只能定义在三维和七维空间里。
现在只讨论三维的叉积。

三维空间内两向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$，其叉积的模为 $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>$（类比平行四边形面积公式：$S=ab\sin \theta$，其几何意义就是以 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 为邻边的平行四边形面积），方向垂直于 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 所确定的平面（符合右手定则）。

右手定则是一个利用右手的拇指、食指和中指来判断三个相互垂直的向量的方向的方法。 具体来说，当我们将右手的食指指向第一个向量的方向，中指指向第二个向量的方向时，拇指所指的方向就是这两个向量叉乘的方向。 这个定则非常直观，易于操作，是物理学和工程学中判断向量叉乘方向的常用方法。

③，对于两向量 $\overrightarrow{a}=(x_a,y_a,z_a),\overrightarrow{b}=(x_b,y_b,z_b)$，可以通过行列式求其叉积（默认三个方向的单位长度（$i,j,k$）都为 $1$）：