斐波那契模意义下循环节

斐波那契模意义下循环节

以前只知道这个循环节不大，没看具体证明，现在补一发。

你需要提前知道的：

斐波那契数列递推式 \(F_i = F_{i-1} + F_{i-2} (i \ge 2),F_0 = 0, F_1 = 1\)。

斐波那契数列通项公式 \(F_n = \phi^n - {\hat\phi}^n\)，其中 \(\phi\) 和 \(\hat \phi\) 为特征方程 \(x^2 = x + 1\) 的两个根。

这里可能出现 \(5\) 是模 \(p\) 的二次非剩余的情况，这时候可以直接考虑扩域。

二次剩余的欧拉判别法

\[\left( \frac{a}{p} \right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p. \]

二次互反律

\[\left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}}. \]

一些引理

引理1

\[a \equiv 1 \pmod p \Rightarrow a^{p^k} \equiv 1 \pmod{p^{k+1}}. \]

考虑归纳，已知 \(a^{p^{k-1}} \equiv 1 \pmod{p^k}\)

设 \(a^{p^{k-1}}=tp^k + 1\)

则

\[a^{p^k} = (a^{p^{k-1}})^p = (tp^k + 1)^p = 1 + \sum_{i \ge 1} \binom{p}{i}(tp^k)^i \equiv 1 \pmod{p^{k+1}} \]

引理2

若 \(p > 5\)， 则

\[\left( \frac{5}{p} \right) = \begin{cases} 1 & \text{if $p \equiv \pm 1 \pmod 5$}\\ -1 & \text{if $p \equiv \pm 2 \pmod 5$} \end{cases} \]

由二次互反律

\[\left( \frac{5}{p} \right) \left( \frac{p}{5} \right) = (-1)^{2 \cdot \frac{p-1}{2}} = 1 \]

故

\[\left( \frac{5}{p} \right) = \left( \frac{p}{5} \right) \equiv p^2 \pmod 5 \]

然后逐一代入验证即可。

进入正题

令 \(P = \prod p_k^{\alpha_k}\)，很显然如果对于每个 \(k\) 求出 \(p_k^{\alpha_k}\) 的循环节，就可以利用中国剩余定理进行合并，具体地，对所有小循环节取最小公倍数即可。

现在考虑 \(P = p^k\) 的情形。假设 \(P\) 的循环节为 \(T\)，\(p\) 的循环节为 \(t\)。那么有

\[T \mid tp^{k-1}. \]

首先 \(F_t = \frac{\phi^t - \phi ^ {-t}}{\sqrt5} \equiv 0 \pmod p.\)

因此 \(\phi^t \equiv \phi^{-t} \pmod p.\)

又有

\[F_{t+1} = \frac{\phi^{t+1} - \phi ^{-(t+1)}}{\sqrt5} \equiv \phi^t F_1 \equiv 1 \pmod p. \]

故 \(\phi^t \equiv \phi^{-t} \equiv 1 \pmod p.\)

运用引理1，可知 \(\phi^{tp^{k-1}} \equiv \phi^{-tp^{k-1}} \equiv 1 \pmod {p^{k}}.\)

这样，就有 \(F_{tp^{k-1}} \equiv 0 \pmod p, F_{tp^{k-1} + 1} \equiv 1 \pmod p.\)

所以只需考虑 \(P = p\) 的情形。

根据 \(\left ( \frac{5}{p} \right)\) 的取值，分为两种情形

情形1

\[\left( \frac{5}{p} \right) = 1. \]

这时候可以用费马小定理，\(\phi^{p-1} \equiv \phi^{-(p-1)} \equiv 1 \pmod p.\)

不难验证 \(t \mid p-1.\)

情形2

\[\left( \frac{5}{p} \right) = -1. \]

这时候有

\[\phi^p \equiv (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt5}{2})^p \equiv \frac{1}{2} (1 + {\sqrt5}^p)\equiv \frac{1}{2}(1+5^{\frac{p-1}{2}}\cdot\sqrt{5}) \equiv \phi^{-1} \pmod p. \]

不难验证 \(t \mid 2p+2.\)