CF1242D Number Discovery

CF1242D Number Discovery

临题解涕零，不知所言。

若一个数是以和的形式加入的，称这样的数为 non-self 数。

显而易见，若将每 \(k+1\) 个数分段，则每段至多有一个 non-self 数，但是这个结论是非常 weak 的，因为大多数段不含有 non-self 数。然而，这启发我们取一个合理的段长，然后计算 \(n\) 所在段内信息。

考虑怎么算答案，显然，可以利用 \(n\) 减去序列中 non-self 数的数量再加上比 \(n\) 小的 non-self 数数量。

所以，如果能有一个段长，使得每段内有且仅有一个 non-self 数那么就容易计算答案了。

这时，你点开题解，获得一个重要结论。

取段长为 \(k^2 + 1\)，则每段内恰有一个 non-self 数。

考虑归纳证明。不难发现，第 \(i\) 段会对后面 \(k\) 段确定一个 non-self 数，任务是证明这些段不重不漏地覆盖了第 \([ik + 1, ik + k]\) 段。

假设已知第 \(i\) 段中的 non-self 数为 \(x\)。那么可以求出第 \((ik + t + 1)\) 个的 non-self 数

\[\sum_{j = 1} ^ k {(i (k^2 + 1) + tk + j)} + offset = (ik + t) (k ^ 2 + 1) + \frac{k(k + 1)}{2} - t + offset \]

其中 \(offset\) 表示由于 non-self 产生偏差的贡献。不难发现这个数一定落在第 \((ik + t + 1)\) 段内。

对于 \(offset\)，有

\[offset = \sum_{j=1}^k {[i (k ^ 2 + 1) + tk + j \ge x]} = \max(0, \min(k - (x - (i(k ^ 2 + 1) + tk)) + 1)) \]

所以可以通过递归求出 \(n\) 所在段的 non-self 数，然后 \(O(\log n)\) 处理询问。

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

namespace IO {
  #define isdigit(x) (x >= '0' && x <= '9')
  template<typename T>
  inline void read(T &x) {
    x = 0; char ch = getchar(); int f = 0;
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
    if(f) x = -x;
  }
  template<typename T>
  inline void write(T x) {
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
  }
  #undef isdigit
}
using namespace IO;

typedef long long LL;

LL n;
LL k, B;

LL offset;

LL find(LL id) {
  if(!id) return k * (k + 1) / 2;
  LL i = id / k, t = id - i * k - 1, x = find(i);
  LL offset = max((LL)0, min(k, k - (x - (i * B + (t + 1) * k)) + 1));
  LL tx = (i * k + t + 1) * B - 1 + k * (k + 1) / 2 - t + offset;
  return tx;
}

void solve() {
  read(n), read(k);
  B = k * k + 1;
  LL id = (n - 1) / B;
  LL x = find(id);
  if(n == x) printf("%lld\n",(id + 1) * (k + 1));
  else {
    LL pre = id + (n > x);
    LL tot = (n - 1 - pre) / k;
    printf("%lld\n",n - pre + tot);
  }
}

int main() {
  int T; read(T);
  while(T--) solve();
}