CF1466H Finding satisfactory solutions
CF1466H Finding satisfactory solutions
这题厉害了!
先考虑已知 \(b\) 如何求合法的 \(a\)。由于是排列,就想和置换环扯上关系。考虑将 \(i\) 与 \(i\) 最喜欢的物品连边,形成内向基环森林,直觉告诉我们这个环一定要直接选,事实也就是如此,否则选择 \(S = circle\) 即可满足不合法条件。这样,每次确定一个环并删去,那么就会形成合法的 \(a\)。
现在变成有 \(a\) 计数 \(b\) 了。把置换环抠出来,令环上点为白边,每个点向比环上点更喜欢的点连黑边,那么合法等价于不存在包含黑边的环。
由于 \(n\) 很小,考虑状压 DP。转移考虑一层层连黑边,每次枚举新加进来的环,容斥一下有
\[f_S = \sum_{T} (-1)^{|T| + 1} f_{S - T} w_{S - T, T}
\]
其中 \(w_{S,T}\) 表示由 \(T\) 向 \(S\) 连黑边的方案数,显然可以先算出一个点连向 \(S\) 的方案数然后乘起来。
枚举向 \(S\) 连了多少条边,有
\[w_{S, x} = \sum_{i=1}^{|S|} \binom{|S|}{i} i! (n-i-1)!
\]
这个可以 \(O(n^2)\) 预处理。复杂度瓶颈就在于 DP。观察一下状态数,发现好像比较小,实际上最大为 \(1440\)。假设状态数为 \(S\),随便实现一下可以做到 \(O(nS^2)\),很轻松就能通过。
#include <cstdio>
namespace IO {
#define isdigit(x) (x >= '0' && x <= '9')
template<typename T>
inline void read(T &x) {
x = 0; char ch = getchar(); int f = 0;
for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
if(f) x = -x;
}
template<typename T>
inline void write(T x) {
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if(x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
#undef isdigit
}
using namespace IO;
const int N = 110;
const int M = 1500;
int n, a[N], vis[N], cnt[N];
int w[N][N], binom[N][N], fac[N];
int f[M], sz[M], m, subs;
const int P = 1e9 + 7;
inline void add(int &x, int y) {if((x += y) >= P) x -= P;}
inline void sub(int &x, int y) {if((x -= y) < 0) x += P;}
inline void encode(int *num, int &x) {
x = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
x = x * (cnt[i] + 1) + num[i];
}
inline void decode(int x, int *num) {
for(int i = n; i >= 1; --i)
num[i] = x % (cnt[i] + 1), x /= (cnt[i] + 1);
}
void prework() {
encode(cnt, m);
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
for(int i = 0; i <= n; ++i)
binom[i][0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
add(binom[i][j] = binom[i - 1][j], binom[i - 1][j - 1]);
for(int i = 0; i <= n; ++i) {
w[i][0] = 1;
for(int j = 0; j <= i; ++j)
add(w[i][1], 1ll * binom[i][j] * fac[j] % P * fac[n - j - 1] % P);
for(int j = 2; j <= n; ++j)
w[i][j] = 1ll * w[i][j - 1] * w[i][1] % P;
}
static int s[N];
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
decode(i, s);
int cnt = 0;
for(int j = 1; j <= n; ++j)
cnt += s[j] * j;
sz[i] = cnt;
}
}
int main() {
read(n);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
read(a[i]);
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(vis[i]) continue;
int x = i, siz = 0;
do {
vis[x] = 1, ++siz;
x = a[x];
}while(x != i);
++cnt[siz];
}
prework();
static int s[N], t[N];
f[0] = 1;
for(int i = 0; i <= m; ++i) {
decode(i, s);
for(int j = 1; j <= i; ++j) {
decode(j, t);
int flag = 0;
int mul = 1, sum = 0;
for(int k = 1; k <= n; ++k) {
if(t[k] > s[k]) flag = 1;
mul = mul * binom[s[k]][t[k]] % P;
sum += t[k];
}
if(flag) continue;
if(sum & 1) add(f[i], 1ll * mul * f[i - j] % P * w[sz[i] - sz[j]][sz[j]] % P);
else sub(f[i], 1ll * mul * f[i - j] % P * w[sz[i] - sz[j]][sz[j]] % P);
}
}
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}