CF1466H Finding satisfactory solutions

CF1466H Finding satisfactory solutions

这题厉害了！

先考虑已知 \(b\) 如何求合法的 \(a\)。由于是排列，就想和置换环扯上关系。考虑将 \(i\) 与 \(i\) 最喜欢的物品连边，形成内向基环森林，直觉告诉我们这个环一定要直接选，事实也就是如此，否则选择 \(S = circle\) 即可满足不合法条件。这样，每次确定一个环并删去，那么就会形成合法的 \(a\)。

现在变成有 \(a\) 计数 \(b\) 了。把置换环抠出来，令环上点为白边，每个点向比环上点更喜欢的点连黑边，那么合法等价于不存在包含黑边的环。

由于 \(n\) 很小，考虑状压 DP。转移考虑一层层连黑边，每次枚举新加进来的环，容斥一下有

\[f_S = \sum_{T} (-1)^{|T| + 1} f_{S - T} w_{S - T, T} \]

其中 \(w_{S,T}\) 表示由 \(T\) 向 \(S\) 连黑边的方案数，显然可以先算出一个点连向 \(S\) 的方案数然后乘起来。

枚举向 \(S\) 连了多少条边，有

\[w_{S, x} = \sum_{i=1}^{|S|} \binom{|S|}{i} i! (n-i-1)! \]

这个可以 \(O(n^2)\) 预处理。复杂度瓶颈就在于 DP。观察一下状态数，发现好像比较小，实际上最大为 \(1440\)。假设状态数为 \(S\)，随便实现一下可以做到 \(O(nS^2)\)，很轻松就能通过。

#include <cstdio>

namespace IO {
  #define isdigit(x) (x >= '0' && x <= '9')
  template<typename T>
  inline void read(T &x) {
    x = 0; char ch = getchar(); int f = 0;
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
    if(f) x = -x;
  }
  template<typename T>
  inline void write(T x) {
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
  }
  #undef isdigit
}
using namespace IO;

const int N = 110;
const int M = 1500;
int n, a[N], vis[N], cnt[N];
int w[N][N], binom[N][N], fac[N];
int f[M], sz[M], m, subs;

const int P = 1e9 + 7;

inline void add(int &x, int y) {if((x += y) >= P) x -= P;}
inline void sub(int &x, int y) {if((x -= y) < 0) x += P;}

inline void encode(int *num, int &x) {
  x = 0;
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    x = x * (cnt[i] + 1) + num[i];
}

inline void decode(int x, int *num) {
  for(int i = n; i >= 1; --i) 
    num[i] = x % (cnt[i] + 1), x /= (cnt[i] + 1);
}

void prework() {
  encode(cnt, m);
  fac[0] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
  for(int i = 0; i <= n; ++i)
    binom[i][0] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = 1; j <= n; ++j)
      add(binom[i][j] = binom[i - 1][j], binom[i - 1][j - 1]);
  for(int i = 0; i <= n; ++i) {
    w[i][0] = 1;
    for(int j = 0; j <= i; ++j)
      add(w[i][1], 1ll * binom[i][j] * fac[j] % P * fac[n - j - 1] % P);
    for(int j = 2; j <= n; ++j) 
      w[i][j] = 1ll * w[i][j - 1] * w[i][1] % P;
  }
  static int s[N];
  for(int i = 1; i <= m; ++i) {
    decode(i, s);
    int cnt = 0;
    for(int j = 1; j <= n; ++j)
      cnt += s[j] * j;
    sz[i] = cnt;
  }
}

int main() {
  read(n);
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    read(a[i]);

  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    if(vis[i]) continue;
    int x = i, siz = 0;
    do {
      vis[x] = 1, ++siz;
      x = a[x];
    }while(x != i);
    ++cnt[siz];
  }

  prework();

  static int s[N], t[N];
  f[0] = 1;
  for(int i = 0; i <= m; ++i) {
    decode(i, s);
    for(int j = 1; j <= i; ++j) {
      decode(j, t);
      int flag = 0;
      int mul = 1, sum = 0;
      for(int k = 1; k <= n; ++k) {
        if(t[k] > s[k]) flag = 1;
        mul = mul * binom[s[k]][t[k]] % P;
        sum += t[k];
      }
      if(flag) continue;
      if(sum & 1) add(f[i], 1ll * mul * f[i - j] % P * w[sz[i] - sz[j]][sz[j]] % P);
      else sub(f[i], 1ll * mul * f[i - j] % P * w[sz[i] - sz[j]][sz[j]] % P);
    }
  }
  printf("%d\n",f[m]);
  return 0;
}