[NOI Online #1 入门组] 跑步 题解

[NOI Online #1 入门组] 跑步 题解

一个经典问题：计数将正整数$n$拆分为若干个正整数的方案数，这里拆成的正整数是无序的，对$P$取模。

容易得到$O(n^2)$解法

设$f_{i,j}$表示用$j$个数得到$i$的方案数。转移即考虑增加一个数为$1$或全部数加$1$。

或者设$f_{i,j}$表示用$\le j$的数得到$i$的方案数。转移即考虑选不选$j$。

然而似乎无法继续优化。

下面就是本题的关键了。画出$\text{Ferrers}$图，如图

$$\begin{matrix} &\circ &\circ &\circ &\circ &\circ &\circ\\ &\circ &\circ &\circ &\circ\\ &\circ &\circ &\circ\\ &\circ &\circ\\ &\circ &\circ\\ &\circ \end{matrix}$$

这里将一行看成一个数。

考虑上面的$O(n^2)$做法在$\text{Ferrers}$图上的实质。

第一种做法是每次在下方加一个点或在左方加一列。复杂度为$O(n \times 行数)$。

第二种做法是每次加一行或者将当前可加行长度加一。复杂度为$O(n \times 列数)$。

我们想要将行数和列数同时控制在一个合适的范围内，这样把两个做法拼起来或许就能优化。

于是考虑强制第一种做法中每加一个点就加$B$个，第二种做法中至多将当前可加行长度累加至$B - 1$

这样第一种做法中行数至多为$\frac{n}{B}$复杂度就是$O(\frac{n^2}{B} + nB)$

取$B = \sqrt{n}$，可得最优复杂度为$O(n\sqrt{n})$

点我看代码 |ू･ω･` )

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x) {
	x = 0; int f = 0; char ch = getchar();
	for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
	for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
	if(f) x = ~x + 1;
}
const int B = 317;
const int N = 1e5 + 10;
int n, P, m, ans;
int f[N][B + 10], g[N][B + 10];
LL sg[N];
inline void update(int &x, int y) {if((x += y) >= P) x -= P;}
int main() {
	read(n), read(P);
	for(int i = 0; i <= B; ++i) f[0][i] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		for(int j = 1; j < B; ++j) {
			f[i][j] = f[i][j - 1];
			if(i >= j) update(f[i][j], f[i - j][j]);
		}
	}
	m = n / B + 1;
	sg[0] = g[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		for(int j = 1; j <= m; ++j) {
			if(i >= B) update(g[i][j], g[i - B][j - 1]);
			if(i >= j) update(g[i][j], g[i - j][j]);
			sg[i] += g[i][j];
		}
		sg[i] %= P;
	}
	for(int i = 0; i <= n; ++i) 
		update(ans, f[i][B - 1] * sg[n - i] % P);
	printf("%d\n",ans);
}