2022“杭电杯”中国大学生算法设计超级联赛（6）- 1011 Find different

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比赛时队友开摆，还剩半个小时，怎么办？？

当然是一起摆

Solution

看到这个题没多少时间了，没时间细想了，\(\text{DP}\)貌似不可行，一看这个东西就很置换群，火速上\(\text{Burnside}\)引理搞一波，虽然比赛结束也没推完就是了

题意就是问你有多少个本质不同的自然数序列\(a_1,a_2,...,a_n\),其中\(0 \le a_i \le m\)，本质相同当且仅当能通过若干次全部模\(m\)意义下\(＋1\)和整体循环左移得到。

考虑左移\(i\)位，全部加了\(j\)，先考虑旋转，有经典结论，形成了\(\gcd(n,i)\)个循环置换，其中每个循环的长度为\(\frac{n}{\gcd(n,i)}\)，然后我们对着这个\(\gcd(n,i)\)一顿操作，希望能够找到一个小环的不动点个数然后乘起来就行了。

自己画个图感受一下，可以发现一个小环的不动点个数有点复杂但比较简单，考虑最小的\(k\)使得\(kj \equiv 0\pmod m\)，很容易发现

\[k=\frac{\operatorname{lcm}(m,j)}{j}=\frac{m}{\gcd(m,j)} \]

那么当且仅当\(\frac{m}{\gcd(m,j)} | \frac{n}{\gcd(n,i)}\)有贡献\(m^{\gcd(n,i)}\)

所以可以写出不动点总个数的式子

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n \sum_{j = 1}^m [\frac{m}{\gcd(m,j)} | \frac{n}{\gcd(n,i)}] m ^ {\gcd(n,i)} \\ &= \sum_{i | n} m ^ i \varphi(\frac{n}{i}) \sum_{j | m} \varphi(\frac{m}{j}) [\frac{m}{j} | \frac{n}{i}]\\ &=\sum_{i | n} m^i \varphi(\frac{n}{i}) \sum_{j | \gcd(m,\frac{n}{i})}\varphi(j)\\ &=\sum_{i | n} m^i \varphi(\frac{n}{i}) \gcd(m,\frac{n}{i}) \end{aligned} \]

这东西就好做了，直接一个调和级数\(O(n\log n)\)带走

upd on 2022.11.12:
回来复习Burnside，这题貌似可以理解成本质不同方案计数套本质不同方案计数，一个位置环一个权值环。从这个角度可以这样理解：先考虑位置环，算单位置换的贡献然后\(\gcd(n,i)\)次幂。再考虑权值环，要求选一个就必须选剩下\(\frac{m}{\gcd(m,j)}\)个，那么合法就当且仅当\(\frac{m}{\gcd(m,j)} | \frac{n}{\gcd(n,i)}\)了，当然也可以先考虑权值环，推导过程类似。

点我看代码o(￣▽￣)ｄ

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x) {
	x = 0; int f = 0; char ch = getchar();
	for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
	for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
	if(f) x = ~x + 1;
}
const LL P = 998244353;
const int U = 1e6;
int T;
const int N = 1e6 + 10;
LL ans, n, m, f[N];
LL p[N], vis[N], tot, phi[N], inv[N];
LL invn, g[N], pw[N];
void Sieve() {
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= U; ++i) {
		if(!vis[i]) p[++tot] = i, phi[i] = i - 1;
		for(int j = 1; j <= tot; ++j) {
			int v = p[j] * i;
			if(v > U) break;
			vis[v] = 1; 
			if(i % p[j] == 0) {
				phi[v] = phi[i] * p[j];
				break;
			}
			phi[v] = phi[i] * phi[p[j]];
		}
	}
}
LL gcd(LL x, LL y) {return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);}
LL fpow(LL x, LL pnt = P - 2) {
	LL res = 1;
	for(; pnt; pnt >>= 1, x = x * x % P) if(pnt & 1) res = res * x % P;
	return res;
}
int main() {
	read(T);
	Sieve();
	while(T--) {
		ans = 0;
		read(n), read(m);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) inv[i] = fpow(i);
		for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = 0;
		pw[0] = 1; for(int i = 1; i <= n; ++i) g[i] = gcd(m, i), pw[i] = pw[i - 1] * m % P;
		for(int i = 1; i <= n; ++i) {
			for(int j = 1; j * i <= n; ++j) {
				f[i * j] = (f[i * j] + phi[j] * pw[i - 1] % P * g[j] % P * inv[i * j] % P) % P;
			}
		} 
		for(int i = 1; i < n; ++i) printf("%lld ",f[i]);
		printf("%lld\n",f[n]);
	}
}